Demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0$ , $x \in \Bbb R$ .

Question

¿Por qué es

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}=0\text{ ?}$$

¿Podemos generalizarlo a cualquier exponente $x \in \Bbb R$ ? Es decir, ¿es

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!}=0\text{ ?}$$

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Esto está siendo reutilizado en un esfuerzo por reducir los duplicados, ver aquí: Cómo hacer frente a abstracto duplicar preguntas.

y aquí: Lista de duplicados de resúmenes .

Answer 1

Primero se demuestra que $n!>3^n$ y luego usar $$ \lim\limits_{n}\frac{2^n}{n!}\leq \lim\limits_n\frac{2^n}{3^n} =\lim\limits_n\left(\frac2{3}\right)^n = 0. $$

Para demostrar que $n!>3^n$ que usas la inducción. Para $n = 7$ se mantiene, se asume que se mantiene para algunos $k\geq7$ entonces $(k+1)! = k\cdot k!>k\cdot 3^k>3^{k+1}$ desde $k\geq 7>3$ .

Answer 2

Considera que $$\frac{2^n}{n!} = \frac{\overbrace{2\times 2\times\cdots \times 2}^{n\text{ factors}}}{1\times 2 \times \cdots \times n} = \frac{2}{1}\times \frac{2}{2}\times \frac{2}{3}\times\cdots \times\frac{2}{n}.$$ Todos los factores, excepto los dos primeros, son menores que $1$ Así que en cada paso se multiplica por números cada vez más pequeños, con los factores que van a $0$ .

Answer 3

He eliminado mi anterior planteamiento de la primera pregunta porque era deficiente. En su lugar, para $n\ge2$ tenemos $$ \frac{2^n}{n!}=\frac{\overbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}^{\text{$ n $ copies}}}{1\cdot2\cdot3\cdots n}\le\frac{2\cdot2}{1\cdot2}\left(\frac23\right)^{n-2}\to0\qquad\text{as }n\to\infty $$

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Enfoque alternativo a la segunda pregunta

Inspirado por Ilya, he trasladado aquí mi respuesta borrada de otra pregunta.

Para $n\ge2x$ tenemos $$ \begin{align} \frac{x^n}{n!} &=\frac{x^{\lfloor2x\rfloor}}{\lfloor2x\rfloor!}\frac{x}{\lfloor2x+1\rfloor}\frac{x}{\lfloor2x+2\rfloor}\cdots\frac{x}{n}\\[4pt] &\le\frac{x^{\lfloor2x\rfloor}}{\lfloor2x\rfloor!}\left(\frac12\right)^{n-\lfloor2x\rfloor} \end{align} $$ Desde $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^{n-\lfloor2x\rfloor}=0 $$ tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0 $$

Answer 4

Me sorprende que nadie lo haya mencionado:

$$2 \cdot 2 \cdot 2... \cdot 2 \leq 2 \cdot 3 \cdot 4... \cdot (n-1)$$

Así, $2^{n-2} \leq (n-1)!$ .

Por lo tanto, tenemos

$$0 \leq \frac{2^n}{n!} \leq \frac{4(n-1)!}{n!}=\frac{4}{n} \,.$$

Generalización

Dejemos que $x$ sea un número real cualquiera.

Fijar un número entero $k$ para que $\left| x \right| <k$ .

Entonces, para todos los $n> k$ que tenemos:

$$\left| x\right| ^{n-k} < k(k+1)(k+2)...(n-1) $$

Así,

$$0 < \frac{\left|x \right|^n}{n!} \leq \frac{\left|x\right|^kk(k+1)(k+2)...(n-1)}{n!}=\frac{\left|x \right|^k}{(k-1)!}\frac{1}{n}$$

Desde $k$ es fijo, $\frac{\left|x \right|^k}{(k-1)!}$ es sólo una constante, por lo que $\lim_n \frac{\left|x \right|^k}{(k-1)!}\frac{1}{n}=0$ .

Por el teorema de Squeeze, obtenemos que

$$\lim_n \left| \frac{x ^n}{n!} \right|= \lim_n \frac{\left|x \right|^n}{n!}=0 \,.$$

Ahora bien, como $\lim_n \left| \frac{x ^n}{n!} \right|=0$ obtenemos

$$\lim_n \frac{x ^n}{n!} = 0\,.$$

P.D. Un resultado más general aplicable en este caso es el siguiente:

Lema Si $a_n$ es una secuencia de modo que

$$\limsup_n |\frac{a_{n+1}}{a_n}| <1$$ entonces $\lim_n a_n =0$ .

Answer 5

Definir la secuencia $\{ a_n\}$ como $a_n= \dfrac{x^n}{n!}$ para $x\in \mathbb R$ y $n\in \mathbb N$ .

1. Si $x=0$ es trivial que $\lim a_n=0$

2. Si $x>0$ , entonces se tiene que

   • Para $n\in \Bbb N$ , $a_n >0$ .
   • Para $n$ suficientemente grande (digamos $n \geq x$ ), será el caso $$a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{x}{n+1}\frac{x^{n}}{n!}<a_n.$$ Esto significa que después de ciertos $n$ , $a_{n+1}<a_{n}$ .
   • Dado que una secuencia acotada y monotónicamente decreciente de números reales debe tener un límite , $$a= \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{n+1}\cdot\lim_{n\to\infty} a_n = 0\cdot a$$ $$\implies a=0.$$

3. Si $x <0$ introducimos un $(-1)^n$ factor. Ya que hemos demostrado que $a_n$ es cero, utilizamos la propiedad de que si $\{ b_n \}$ está acotado y $a_n \to 0$ entonces $\lim\limits_{n\to\infty} a_n\cdot b_n =0$ y ya está.