Probabilidad de que ninguna de las dos tiradas consecutivas de algún (A,B,C,D,E,F)-die aparezcan consonantes

Question

Tengo una pregunta sobre la probabilidad. Estoy buscando personas que presenten diferentes enfoques para resolverla. ¡Ya tengo una solución, pero no estaba satisfecho como un verdadero matemático ;).....así que adelante y toma una excavación.....si nadie responde....publicaré mi solución....gracias!

Hay un dado cúbico imparcial con sus caras etiquetadas como A, B, C, D, E y F. Si se lanza el dado $n$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que no haya dos lanzamientos consecutivos de consonantes?

Si alguien ya ha planteado un problema de este tipo, le agradeceré que me redirija :)

Answer 1

Aquí hay una solución diferente a la que se da en la página a la que enlaza @joriki. Llama a $c_n$ la probabilidad de que no aparezcan dos consonantes consecutivas durante el $n$ primeros lanzamientos y que el último lanzamiento produce una consonante. Llama a $b_n$ la probabilidad de que no aparezcan dos consonantes consecutivas durante el $n$ primeros lanzamientos y que el último lanzamiento no produjo una consonante. Por lo tanto, se busca $p_n=c_n+b_n$ .

Por cada $n\geqslant1$ , $c_{n+1}=\frac23b_n$ (si el lanzamiento anterior fue una consonante, no se puede obtener una consonante ahora y si no lo fue, $\frac23$ es la probabilidad de obtener una consonante ahora) y $b_{n+1}=\frac13b_n+\frac13c_n$ (si el lanzamiento actual no es una consonante, se pide que no se produzcan dos consonantes sucesivas antes de ahora). Además $c_1=\frac23$ y $b_1=\frac13$ . Uno pide $p_n=3b_{n+1}$ y uno sabe que $9b_{n+2}=3b_{n+1}+3c_{n+1}=3b_{n+1}+2b_n$ por cada $n\geqslant1$ . Las raíces de la ecuación característica $9r^2-3r-2=0$ son $r_2=\frac23$ y $r_1=-\frac13$ por lo que $b_n=B_2r_2^n+B_1r_1^n$ para algunos $B_1$ y $B_2$ . Se puede utilizar $b_2=\frac13$ como segunda condición inicial, se obtiene $B_2=\frac23$ y $B_1=\frac13$ por lo que $b_n=r_2^{n+1}-r_1^{n+1}$ .

Finalmente, $p_n=3^{-n-1}\left(2^{n+2}-(-1)^{n}\right)$ . ( Comprobación de la cordura La pregunta es: ¿se puede comprobar que $p_0=p_1=1$ , $p_2=\frac59$ e incluso con algo de valor que $p_3=\frac{11}{27}$ son los valores correctos).

Answer 2

El problema puede considerarse desde la perspectiva de la cadena de Markov. Sea el estado de la cadena de Markov el número de consonantes consecutivas. Sólo nos interesa que no haya más de dos. Por tanto, el espacio de estados es $0, 1, 2$ . La matriz de transición es entonces $$ P = \left( \begin{array}{ccc} 1-p & p & 0 \\ 1-p & 0 & p \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ donde $p$ es la probabilidad de obtener una consonante en el lanzamiento de un dado, que es $p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ . Con el estado inicial de cero consonantes consecutivas, la probabilidad buscada es $p_n = 1 - (P^n)_{13}$ .

Esto da el mismo resultado que el dado por joriki y Didier:

In[58]:= With[{p = 2/3}, 
 FullSimplify[(1 - 
      MatrixPower[{{1 - p, p, 0}, {1 - p, 0, p}, {0, 0, 1}}, n])[[1, 
     3]] == 3^(-1 - n) (2^(2 + n) - (-1)^n), 
  n \[Element] Integers && n >= 0]]

Out[58]= True

Answer 3

Construyendo sobre Respuesta de @Mike a esta pregunta con $2$ de $6$ lados etiquetados con consonantes, tenemos $p=\frac13$ y $q=\frac23$ por lo que la probabilidad de tener la primera ocurrencia de un doble éxito en el $k$ -el lanzamiento es

$$ \begin{eqnarray} P_k &=& \frac{\left(\frac13\right)^2\left(\left(\frac23 + \sqrt{\left(\frac23\right)^2+4\cdot\frac13\cdot\frac23}\right)^{k-1} - \left(\frac23 - \sqrt{\left(\frac23\right)^2+4\cdot\frac13\cdot\frac23}\right)^{k-1}\right)}{2^{k-1}\sqrt{\left(\frac23\right)^2+4\cdot\frac13\cdot\frac23}} \\ &=& \frac49 \left( \left(\frac23\right)^{k-1}-\left(-\frac13\right)^{k-1}\right)\;. \end{eqnarray} $$

Lo que necesitamos en el presente caso es la suma de estas probabilidades hasta e incluyendo $n$ :

$$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \frac49 \left( \left(\frac23\right)^{k-1}-\left(-\frac13\right)^{k-1}\right) &=& \frac49 \left(\frac{1-\left(\frac23\right)^n}{1-\frac23}-\frac{1-\left(-\frac13\right)^n}{1-\left(-\frac13\right)}\right) \\ &=& 1-\frac13\left(4\left(\frac23\right)^n-\left(-\frac13\right)^n\right) \end{eqnarray} $$

Restando esto de $1$ para obtener la probabilidad de al menos un éxito doble de este tipo da

$$\frac{4\cdot2^n-(-1)^n}{3^{n+1}}$$

De acuerdo con la respuesta de @Did.