Dividir un segmento de línea en la relación $\sqrt{2}:\sqrt{3}.$

Question

"Dividir un segmento de línea en la relación $\sqrt{2}:\sqrt{3}.$"

Tengo este problema en un libro, pero no tengo idea de cómo resolverlo.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Supongo que usted necesita para construir dijo división.

Deje $AB$ ser el segmento de la línea dividida. Construir la semilines $r$ $s$ perpendicular a $AB$ a través de$A$$B$, respectivamente, tales que ambos están en el mismo "lado" de la $AB$.

Dibuje un círculo de radio de $AB$$A$. Se cruza $r$$C$. Dibuje un círculo de radio de $BC$$B$. Se cruza $s$$D$. Ahora $BD = \sqrt{2}AB$. Dibujar una línea paralela a$AB$$D$. Se cruza $r$$E$. Ahora $BE = \sqrt{3}AB$. Dibuje un círculo de radio de $BE$$D$. Se cruza $s$$F$. Dibujar la línea de $AF$ y una paralela a$AF$$D$. Se cruza $AB$$O$.

Ahora $AO:OB = \sqrt{3}:\sqrt{2}$.

Answer 2

Dibujar un rectángulo isósceles triángulo. Llevar a la hipotenusa en un lado. Si la hipotenusa es $\sqrt2$, el nuevo segmento de es $\sqrt3$.

Por Thales teorema puede dividir un segmento en esta relación.

Answer 3

La imagen en primer lugar. Palabreo descripción a seguir.

Buscamos un punto de $C$ que divide $\overline{AB}$ en los segmentos en proporción $\sqrt{2}:\sqrt{3}$.

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Construir la línea perpendicular a $\overleftrightarrow{AB}$$A$. (Nota: La perpendicular en cualquier punto de trabajo, pero esto me da un punto a trabajar.)

El uso de cualquier unidad que te gusta, mark-off ocho segmentos congruentes en la perpendicular. Vamos $C^{\prime\prime}$, $A^\prime$, y $B^\prime$ ser el segundo, sexto y octavo construido extremos de los segmentos, como se muestra en el diagrama. Construir semicírculos con diámetro de $\overline{AA^\prime}$$\overline{BB^\prime}$. (Tenga en cuenta que los centros de estos semicírculos son muy bien construido entre los extremos; por eso la hemos construido muchos de ellos!)

Construir la perpendicular a $\overleftrightarrow{AA^\prime}$$C^{\prime\prime}$, y deje $A^{\prime\prime}$ $B^{\prime\prime}$ ser los puntos donde esta línea cumple con los semicírculos. $\triangle AA^\prime A^{\prime\prime}$ es por lo tanto un triángulo rectángulo del cual se derivan la proporción $$\frac{|\overline{AC^{\prime\prime}}|}{|\overline{A^{\prime\prime} C^{\prime\prime}}|} = \frac{|\overline{A^{\prime\prime} C^{\prime\prime}}|}{|\overline{A^\prime C^{\prime\prime}}|} \;\to\; |\overline{A^{\prime\prime} C^{\prime\prime}}|^2 = |\overline{A C^{\prime\prime}}||\overline{A^{\prime}C^{\prime\prime}}| = 2 |\overline{A C^{\prime\prime}}|^2 \;\;\to\;\; |\overline{A^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}| = \sqrt{2}\,|\overline{A C^{\prime\prime}}|$$ Asimismo, $|\overline{B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}}| = \sqrt{3}\,|\overline{AC^{\prime\prime}}|$, por lo que el $C^{\prime\prime}$ divide $|\overline{A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}}|$ en longitudes en proporción $\sqrt{2} : \sqrt{3}$.

En consecuencia, si $X$ es la intersección de a$\overleftrightarrow{AA^{\prime\prime}}$$\overleftrightarrow{BB^{\prime\prime}}$, entonces la línea $\ell := \overleftrightarrow{XC^{\prime\prime}}$ cumple con $\overline{AB}$ en el deseado punto de división $C$. (Si es que sucede que $\overleftrightarrow{AA^{\prime\prime}}$ $\overleftrightarrow{BB^{\prime\prime}}$ son paralelas, entonces tome $\ell$ a la línea, a través de $C^{\prime\prime}$, en paralelo a ellos.) $\square$

Notas:

• Tenemos el mismo $C$ si construimos cada semicírculo en el "otro lado" de la línea perpendicular.

• Si hemos de construir las dos semicírculos en el "mismo lado" de la línea perpendicular, entonces obtendremos un punto de $C$ externos $\overline{AB}$ aún con $|\overline{AC}|:|\overline{BC}| = \sqrt{2}:\sqrt{3}$. (Tenemos el mismo externos $C$, sin importar de qué lado está el "mismo lado".)

• Esta estrategia se puede utilizar para dividir un segmento en cualquier proporción de la forma $\sqrt{m} : \sqrt{n}$.

Answer 4

La clave es recordar que en cualquier triángulo, si bisecar un ángulo que corta al lado opuesto en la misma proporción que los lados del ángulo. (Fuente: http://hotmath.com/hotmath_help/topics/triangle-angle-bisector-theorem.html). Así que para cortar un segmento en la relación $\sqrt{2}:\sqrt{3}$, es suficiente para bisecar un triángulo cuyos lados tienen esa relación.

Comience con el segmento determinado $AB$. Utilizando como base, construir un triángulo isósceles rectangular (supongo que usted sabe cómo construir perpendiculares.) Entonces la hipotenusa $AC$ de ese triángulo que tiene una longitud igual a $AB\sqrt{2}$.

Ahora, la construcción triángulo rectángulo $ABD$ como se muestra a continuación. Es fácil ver que $BD=AB\sqrt{2}$$AD=AB\sqrt{3}$. Así que si usted bisecar $\angle ADB$, se cortan $AB$ en el índice deseado.

Answer 5

Para facilitar la exposición, supongamos $|AB|=1$. Ahora dibuja una perpendicular a $AB$ $B$ y deje $C$ $D$ puntos en la perpendicular con $C$$B$$D$$|BC|=|CD|=1$. A continuación dibuje círculos de radio $|BD|=2$ centrada en$B$$D$, y deje $E$ ser un punto de intersección de los dos círculos. Tenga en cuenta que $\triangle BDE$ es equilátero con lados de longitud $2$, e $C$ es el punto medio del lado $BD$, lo $|CE|=\sqrt3$.

Ahora dibuja un círculo de radio $|CE|=\sqrt3$ centrada en $C$, y, a continuación, extender $AC$ hasta que se cruza ese círculo en un punto de $F$,$C$$A$$F$. Tenga en cuenta que$|AC|=\sqrt2$$|CF|=\sqrt3$.

Finalmente, la construcción de la línea a través de $C$ paralelo a $BF$. (La construcción de líneas paralelas es un estándar de la regla y compás procedimiento). Esta línea intersecta $AB$ a un punto de $P$, y tenemos

$$|AP|:|PB|=|AC|:|CF|=\sqrt2:\sqrt3$$

Añadido posterior: Se me ocurre que podría ser digno contando el número total de los distintos regla y compás de los pasos involucrados. Asumiendo que se empiece con la extensa línea de $AB$ (no sólo en el segmento de línea), construir la perpendicular a la $B$ se puede hacer con $3$ círculos y $1$ línea; si lo haces con cuidado (por el primer dibujo el círculo centrado en $B$ radio $|AB|$), se obtiene el punto de $C$. A continuación, toma $1$ más de círculo para conseguir $D$ $2$ círculos para obtener $E$. Para obtener $F$ lleva a un círculo y una línea. Finalmente, la construcción de la paralela a $FB$ a través de $C$ se puede hacer con $3$ círculos y $2$ líneas: dibujar la línea de $FB$, dibujar el círculo centrado en $F$ radio $|CF|$, intersección $FB$$Q$, seguido por los círculos centrados en $C$ $Q$ radio $|CF|=|QF|$, que se cruzan en $R$, y finalmente la línea de $CR$, la cual es paralela a $FB$ (y se intersecta $AB$ en el punto deseado $P$). Por lo tanto la totalidad de la construcción implica un total de $10$ brújula pasos y $4$ regla de los pasos. (Si todo lo que tiene para empezar son los dos puntos de $A$$B$, uno de los más regla a paso, la construcción de la línea de $AB$, es necesaria).

Me interesaría saber si alguna de las otras respuestas construcciones de obtener con menos pasos.