Por qué morfismos entre curvas es finito?

Question

Si $X$ es una completa nonsingular curva más $k$, $Y$ es cualquier curva más $k$, $f: X \to Y$ es una de morfismos no se asignan a un punto (por lo $f(X)=Y$), $f$ es un número finito de morfismos.

Esta es la afirmación de probar en Hartshorne Capítulo 2, Prop6.8. Pero la prueba es un poco incompleto en el momento de la inversa de la imagen de un afín conjunto es también afín. Cito aquí:

...Vamos a $V=\rm{Spec}B$ ser abierto afín subconjunto de $Y$. Deje $A$ ser la integral de cierre de $B$$K(X)$. A continuación, $A$ es finita $B$-módulo, y Espec$A$ es isomorfo a un subconjunto $U$$X$. Claramente $U=f^{-1}(V)$...

¿Alguien puede explicar por qué "Spec$A$ es isomorfo a un subconjunto $U$$X$. Claramente $U=f^{-1}(V)$"?

Answer 1

Desde $X$ es completa, los morfismos $f$ es adecuado.
Para cualquier $y\in Y$, la fibra de $F=f^{-1}(y) $ es cerrado y estrictamente incluido en $X$ , debido a $f$ no es constante.
Por lo tanto $F$ es finito, es decir, $f$ es cuasi-finito.
Pero una adecuada y cuasi-finito de morfismos es finito, y por lo $f$ es de hecho un número finito de morfismos.