Esto fue inspirado por posts similares como este . Define la función,
$$F(p) = \lim_ {n \to\infty }2^n \sqrt {2- \underbrace { \sqrt {2+ \sqrt {2+ \dots + \sqrt {p}}}}_{n \textrm { square roots}}}$$
Ya lo sabemos,
$$F(2) = \frac { \pi }{2}, \quad F(3) = \frac { \pi }{3}$$
Me preguntaba qué es lo que evalúa si usamos otros números enteros . Algunos cálculos numéricos y el Calculadora Simbólica Inversa sugiere eso,
$$ \begin {aligned} F(5) &= 2 \ln\big ( \tfrac {1+ \sqrt {5}}{2} \big )\,i \\ F(6) &= \ln\big (2+ \sqrt {3} \big )\,i \\ F(7) &= \ln\big ( \tfrac {5+ \sqrt {3 \times7 }}{2} \big )\,i \\ \vdots\\ F(11) &= \ln\big ( \tfrac {9+ \sqrt {7 \times11 }}{2} \big )\,i \\ \vdots\\ F(17) &= \ln\big ( \tfrac {15+ \sqrt {13 \times17 }}{2} \big )\,i \end {aligned}$$
Nótese que los argumentos radicales son unidades fundamentales . Si usamos Negativo $p$ ,
$$ \begin {aligned} F(-1) &= \pi -2 \ln\big ( \tfrac {1+ \sqrt {5}}{2} \big )\,i \\ F(-2) &= \pi - \ln\big (2+ \sqrt {3} \big )\,i \\ F(-3) &= \pi - \ln\big ( \tfrac {5+ \sqrt {3 \times7 }}{2} \big )\,i \\ \vdots\\ F(-7) &= \pi - \ln\big ( \tfrac {9+ \sqrt {7 \times11 }}{2} \big )\,i \\ \vdots\\ F(-13) &= \pi - \ln\big ( \tfrac {15+ \sqrt {13 \times17 }}{2} \big )\,i \end {aligned}$$
y así sucesivamente. Parece que $F(2+m)+F(2-m) = \pi $ . También observé que si $m \pm2 $ son primos, entonces,
$$F(2+m) = \pi -F(2-m) = \ln\Big ( \tfrac {m+ \sqrt {(m-2)(m+2)}}{2} \Big )\,i \tag1 $$
a través de la forma de $(1)$ es sólo una conjetura.
Pregunta: ¿Cuál es entonces la fórmula para $F(p)$ usando el general $p$ ?
