Ningún grupo del orden 400 es simple

Question

Se me ha planteado la cuestión de mostrar que ningún grupo de orden $400$ es simple. He intentado atacarlo a través de los teoremas de Sylow desde hace una semana, pero todos los trucos y métodos que conozco parecen estar fallando horriblemente.

Cosas que he intentado:

Tratando de producir una contradicción al dar un mapa en $S_n$ por elementos que actúan por conjugación en los subgrupos de Sylow 5 no funciona, ya que hay 16 de estos subgrupos de Sylow 5, y 400 divisiones $16!$ por lo que bien podría ser una inyección y por lo tanto no podemos obviamente encontrar un núcleo no trivial.

Intentar el conteo de elementos es complicado y no puedo conseguir que salga como quiero, por ejemplo, podemos mostrar que cada uno de los subgrupos de Sylow 5 es isomórfico a $ \mathbb {Z}_5 \times \mathbb {Z}_5$ así que debería haber al menos 125 elementos de orden divisibles por sólo 5, pero no veo que esto produzca una contradicción con ninguna de las cosas que puedo averiguar sobre los subgrupos de Sylow 2.

De todas formas, probablemente me esté perdiendo algo bastante obvio, y apreciaría cualquier pista, solución o cualquier otra ayuda que puedas dar.

Answer 1

Aquí hay un esquema para una solución.

En primer lugar, $|G| = 400 = 2^4 \cdot 5^2\ $ . Por el teorema de Sylow sabemos que el número de subgrupos de Sylow 5 debe ser un divisor de $2^4$ y que es $1$ modulo $5$ . Por lo tanto, es o bien $1$ o $2^4$ . Si sólo hay un subgrupo de Sylow 5, debe ser normal.

Para el otro caso, supongamos primero que las intersecciones de los diferentes subgrupos de Sylow 5 son siempre triviales. Contando los elementos se puede concluir que $G$ tiene exactamente un subgrupo de Sylow 2, lo que es normal.

Si tenemos los subgrupos de Sylow 5 $P$ y $Q$ de tal manera que $P \cap Q \neq \{1\}$ Entonces $|P \cap Q| = 5$ . Por lo tanto $P \cap Q$ es normal en $P$ y $Q$ y por lo tanto es normal en el subgrupo $ \langle P, Q \rangle $ generada por $P$ y $Q$ . Por último, mostrar que o bien $ \langle P, Q \rangle $ es normal en $G$ o iguales $G$ .