¿Qué aplicación hay para un no-topológico de Hausdorff espacio?

Question

Estoy aprendiendo topología básica y como yo lo entiendo, una buena manera de intuir lo que un conjunto abierto es, es que se determina que los elementos están cerca uno del otro. Sin embargo, en un no-espacio de Hausdorff, sería posible que un punto a estar "cerca" de otro, sin el reverso de ser cierto. Por ejemplo, si $X=\{a,b\}$ y la tipología $T=\{\emptyset, \{a\},X\}$, a continuación, "la proximidad a $b$" implica acercarse a $a$, pero no a la inversa. Usted puede conseguir tan cerca de $a$ que no están cerca de $b$.

Sé que estas imprecisas palabras en inglés como "cerca de" y "de barrio" no debe ser considerado como demasiado fuertemente relacionada con topológico definiciones, pero todavía me pregunto si es posible dar una concepción intuitiva de lo abierto conjuntos de "decir" o lo que ellos son, en un no-espacio de Hausdorff.

[Edit: Dar ejemplos de aplicaciones, en particular de aquellos accesibles para una persona que tiene un principiante del conocimiento con la topología, se agradece, ya que pueden ilustrar el significado del concepto.]

Answer 1

No creo que buscando una intuición es la forma de entender esto. El punto de resumen espacios topológicos no es que sean intuitivos; es el contrario: es para comprender ciertos aspectos de la conducta de los espacios, incluso en espacios que son tan extrañas que su intuición no funciona.

Su intuición para espacios topológicos viene (o debería hacerlo) $\Bbb R^n$, que es el ejemplo canónico. Los axiomas de espacios topológicos se pretende resumen algunas propiedades generales de los bloques abiertos en $\Bbb R^n$, de modo que podemos manejar las propiedades más generales de la configuración. Así, por ejemplo, podemos considerar el espacio de toda la distancia de la preservación de origen-la fijación de transformaciones lineales del plano y observar que este espacio tiene dos componentes conectados, y de repente que se tira en un montón de resultados relacionados que hemos probado sobre desconectado espacios en general, sin la necesidad de tener una imagen mental o una intuición acerca de ello, y sin tener que probar todo de nuevo por este espacio en particular.

Aquí hay otro ejemplo. Usted ha mencionado el Sierpiński espacio de $S = \{\top,\bot\}$ cuya topología es $\{S, \{\top\}, \emptyset\}$. Hay una noción importante en la computabilidad teoría de la "recursiva enumerability": un recursivamente enumerable conjunto ("RE") es de (aproximadamente) uno de cuyos valores pueden ser enumerados por algún proceso automático; tal vez usted puede imaginar por qué esto podría ser importante.

Es evidente que si $X$ es un espacio libre de valores, a continuación, un subconjunto $Y\subset X$ RE si y sólo si su función característica $\chi_Y:X\to S$ es continuo, donde la función característica es $$\chi_Y(x) = \begin{cases} \top\quad\text{if %#%#%} \\ \bot\quad\text{otherwise} \end{casos}$$

Si usted formular la propiedad de recursivas enumerability de esta manera, podrá obtener al instante una gran cantidad de información acerca de cómo VOLVER establece, esencialmente, de forma gratuita, todos importados de la enorme cuerpo de conocimiento que ya existe sobre funciones continuas. Por ejemplo, un número finito de intersección de RE establece también es RE, pero un infinito intersección de la necesidad de no ser; esto es exactamente análoga a la topológico teorema que finito intersecciones de abrir los subconjuntos de a $x\in Y$ están abiertos, pero infinito intersecciones no tiene que ser. El propósito aquí no es tratar de desarrollar la intuición acerca de cómo $X$ podría estar abierto mientras $\{\top\}$ es cerrado. No hay ninguna intuición para eso; simplemente es un hecho. En su lugar, el objetivo es aplicar la teoría existente a un nuevo conjunto de casos.

Von Neumann es famoso supone que dijo que "en matemáticas, que no entiende las cosas, uno se acostumbra a ellos". No estoy seguro exactamente lo que quería decir, pero creo que esto podría ser un buen ejemplo. Usted puede entender la topología de $\{\bot\}$. Pero creo que la topología de la Sorgenfrey plano es algo que te acostumbras, no es algo que entender. (Aunque es Hausdorff!)

Answer 2

Considere la posibilidad de la unidad cerrada esfera en 3-dim espacio y la función de $f$ desde la esfera de los 2 puntos del espacio de $\{a,b\}$ enviar el interior de la esfera a $a$ y el límite de la esfera en $b$. En virtud de la cual la topología en el espacio de destino es esta función continua? Bueno, ya $f^{-1}(a)$ es un subconjunto abierto de la esfera, a continuación, queremos $\{a\}$ a ser abierto y este es el único requisito. El no Hausdorff topología permite tratar con este tipo de identificación del mapa como una función continua entre dos espacios topológicos, permitiendo que toda la maquinaria para aplicar. O, en otros términos, permite pensar en la esfera, para todos los propósitos en los que los puntos interiores pueden ser identificados el uno con el otro y puntos de límite puede ser identificado el uno con el otro, como de 2 puntos en el espacio con el que no Hausdorff topología.

Una aplicación típica de esta surge cada vez que tiene un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia ${\cal R}$. Entonces usted tiene una canónica de manera de dotar al conjunto de clases de equivalencia con una topología. Así que usted puede decir cuando dos clases de equivalencia son "cerca uno del otro"... Tomar el ejemplo más típico de pregrado de la geometría: la clasificación de real cónicas bajo afín. Desde afín clases de cónicas son clasificados por rango y la firma de la correspondiente matriz simétrica, usted termina con una finito no topológico de Hausdorff espacio. Su topología dice exactamente que tipo de transición de una cónica a otro puede suceder cuando hay una continua familia de cónicas, así, por ejemplo, rige las transiciones de cónica tipo lineal dentro de las familias de cónicas.

Como se dijo anteriormente el grupo de acciones se encuentra en esta situación, y no Hausdorff espacios normalmente surge como espacios de órbitas en el grupo de acción.