¿Sirve la integral de Riemann para algo?

Question

Gente de matemáticas:

Creo que es una buena idea enseñar a los estudiantes de cálculo principiantes la integral de Riemann (me refiero a lo que los libros de cálculo llaman "integral de Riemann" e ignoro cualquier controversia sobre si debería llamarse integral de Darboux, etc.), ya que da una definición rigurosa a la idea de "área bajo una curva" y no se necesita teoría de la medida para definirla. Pero, ¿se utiliza alguna vez la integral de Riemann en las matemáticas "reales" por parte de los matemáticos que conocen la integración de Lebesgue? ¿Hay algún propósito en demostrar propiedades difíciles de probar de la integral de Riemann (digamos, en una clase de análisis real)? La integral de Lebesgue es más potente y tiene esas propiedades, además de otras.

Los únicos usos que se me ocurren son: (i) usarlo como truco para evaluar ciertas sumas infinitas o límites y (ii) un punto de partida para aprender la integral de Riemann-Stieltjes.

EDIT: Acabo de descubrir una pregunta similar, sin respuesta, en ¿Se requieren lógicamente hechos específicos sobre la integral de Riemann? . Si lo lees, quizás entiendas mejor mi pregunta.

Answer 1

Creo que es una lástima que la motivación pedagógica estándar de la integral de Lebesgue parezca implicar el "dumping" de la integral de Riemann.

Hay (por supuesto) un sentido en el que la integral de Lebesgue es más fuerte: la colección de funciones integrables de Lebesgue contiene propiamente la colección de funciones integrables (¡propiamente!) de Riemann, por lo que la integral de Lebesgue es "mejor".

Como ha señalado Mariano en los comentarios, esto no es necesariamente muy convincente: los ejemplos estándar de funciones acotadas, medibles y no integrables de Riemann parecen bastante artificiosos.

En mi opinión, la mayor parte de la verdadera ventaja de la integral de Lebesgue sobre la integral de Riemann reside en la Teorema de convergencia dominante . Este resultado tan importante es mucho más difícil de demostrar directamente para la integral de Riemann. En parte, por supuesto, es difícil de demostrar porque no es cierto que un límite puntual de funciones integrables de Riemann deba ser integrable de Riemann, pero, de nuevo, no es ahí donde reside el quid del problema. En el marco de la SES, si añadimos la hipótesis de que la función límite es integrable de Riemann, por supuesto que el teorema es válido para la integral de Riemann... ¡pero intenta demostrarlo sin utilizar los métodos de Lebesgue! (La gente lo ha hecho, por cierto, y la dificultad de estos argumentos es una evidencia persuasiva a favor de Lebesgue).

Sinceramente, creo que en muchas áreas de las matemáticas (ciertamente no en todas, por supuesto), es la DCT (y un par de otros resultados relacionados) lo que es realmente importante y no la teoría de la medida que la acompaña. Por lo tanto, me gustaría que el enfoque a través de la Daniell integral fueran más populares: por ejemplo, puedo imaginar un universo alternativo en el que esto forme parte del análisis de pregrado y "la teoría de la medida y la integración de Lebesgue" fuera un curso de postgrado de "temas" populares en lugar de algo en lo que cada joven estudiante de matemáticas se corta los dientes y muchos nunca vuelven a utilizar. Si la teoría de la medida estuviera más divorciada de las necesidades de la teoría de la integración, uno estaría naturalmente tentado a introducir más geometría o a hacer explícitas las conexiones con la teoría de la probabilidad: cualquiera de las dos cosas supondría una importante dinamización del material, creo.

Cierto, pero se supone que estoy respondiendo a la pregunta en lugar de despotricar.

Hay otro sentido en el que la integral de Riemann es más fuerte que la integral de Lebesgue: ya que la definición de Riemann de integrabilidad de Riemann es a priori tan exigente, saber que una función es integrable de Riemann es mejor que saber que es integrable de Lebesgue. Se puede utilizar para evaluar ciertos límites, sí, ¡pero no se trata de un simple truco! Más bien, el hecho de que una gama increíblemente amplia de "sumas interpolatorias" asociadas a, por ejemplo, una función continua arbitraria, converjan todas al mismo número, es increíblemente útil. Como he dicho antes y otros han dicho aquí, toda la rama del análisis conocida como teoría de la aproximación parece estar fundada en la integral de Riemann, no en la integral de Lebesgue. En esta rama de las matemáticas uno está interesado en varios esquemas interpolatorios estrechamente relacionados con las sumas de Riemann, y a menudo uno busca un buen equilibrio entre las tasas de convergencia, la eficiencia y demás en términos de la cantidad de suavidad de la función. Un esquema de aproximación que funcionaba para cada $C^2$ por ejemplo, se consideraría bastante general y útil. ¿Se ha encontrado alguna vez un analista numérico con una función no iemann-integrable?

Ayuda a fijar las ideas para restringir a la función característica $1_S$ de un subconjunto acotado $S \subset \mathbb{R}^n$ . Entonces $1_S$ es integrable en Lebesgue si $S$ es medible por Lebesgue. Un conjunto general medible por Lebesgue puede ser bastante patológico. Por otro lado, $1_S$ es integrable de Riemann si $S$ es Jordania medible Este es un concepto menos conocido, pero es técnicamente útil y, en algunos aspectos, más natural. El hecho de que el volumen de un conjunto medible de Jordan pueda calcularse como un límite del recuento de puntos de la red es una idea clave que vincula la geometría discreta y la continua. Sólo como ejemplo, esto surgió (de una manera muy estándar y conocida) en un artículo que escribí recientemente: véase la Proposición 3.7 aquí . Hechos geométricos como estos fallan para, por ejemplo, la función característica de los puntos racionales en $[0,1]^d$ .

He aquí un caso algo relacionado con la integrabilidad de Riemann: una secuencia $\{x_n\}$ en $[0,1]$ es distribuido uniformemente si para todas las funciones integrables de Riemann $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , $\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(x_n) = \int_0^1 f$ . (Véase, por ejemplo, el teorema 7 de estas notas .) En el lado derecho (por supuesto) no importa si se toma la integral en el sentido de Riemann o de Lebesgue, pero si $f$ no es integrable de Riemann, entonces no hay que hacer nada bueno en el lado izquierdo. Este es otro caso en el que las funciones integrables de Riemann son mejores.

Answer 2

Se me ocurren unas cuantas razones, la mayoría de las cuales ya se han mencionado en los comentarios.

1. Proporciona cierto nivel de intuición de lo que significa integrar. Por supuesto, no puede integrar muchas de esas funciones locas que a los matemáticos les encanta construir, pero yo no puedo visualizar la integral de Lebesgue tan bien como la integral de Riemann. El valor pedagógico es el valor matemático, en muchos aspectos.

2. De todos modos, es idéntica a la integral de Lebesgue para funciones continuas en subconjuntos compactos del espacio euclidiano, por lo que parece muy interesante demostrar que los intentos de calcular la integral de Riemann para tales situaciones no son esfuerzos para calcular el valor "equivocado".

3. La integración numérica se realiza siempre utilizando una variante de la formulación integral de Riemann. Todos los esquemas numéricos implican algún tipo de partición del dominio de integración, tras lo cual la integral en cada elemento de la partición se estima aproximando la gráfica de la función por algo más sencillo. Creo que más de un puñado de personas estaría de acuerdo en que la integración numérica sirve para algo...

Edición: Potato tiene un gran punto que el Teorema Fundamental del Cálculo es mucho más fácil de demostrar (para funciones bonitas) usando la formulación integral de Riemann, mientras que las generalizaciones al caso de Lebesgue como el Teorema de la Diferenciación de Lebesgue requiere más maquinaria, como funciones maximales, etc. Seguramente no querrás que los estudiantes de cálculo esperen hasta ese punto para aprender un concepto tan importante.

Answer 3

La integral de Riemann sirve al menos para dos cosas:

• Definición que se utilizará en los argumentos lógicos; y
• Integración numérica.

En los cursos en los que no se espera rigor lógico, yo omitiría la definición de integral de Riemann. Un podría simplemente dicen que es el área bajo una curva.

Pero una aproximación a la definición intuitiva dice que en lugar de usar una integral para encontrar un área, se usa y área para aproximar una integral. Una integral es una suma de infinitas cantidades infinitamente pequeñas $f(x)\,dx$ y $f(x)$ podría estar en unidades de fuerza y $dx$ en unidades de distancia para que $f(x)\,dx$ está en unidades de energía y no se trata en absoluto del área bajo la curva. Pero dibujar el gráfico de $f(x)$ en función de $x$ y utilizar la imagen para estimar el área, y tienes una estimación de la energía. La definición de Riemann obviamente no está involucrada en todo esto.

La definición de Riemann da criterios para saber cuándo un número es demasiado pequeño o demasiado grande para ser la integral. En lugar de definir infs y sups, podría decir que la integral se define como el único número (si sólo hay uno) que no es ni demasiado grande ni demasiado pequeño.

(Del mismo modo, la definición de Lebesgue, aplicada a las funciones no negativas, dice que la integral es el número más pequeño que no es demasiado pequeño. Y si todo número es demasiado pequeño, entonces es $\infty$ . El criterio para saber cuándo es demasiado pequeño es sencillo. Lo complicado es sólo construir la medida y mostrar que es contablemente aditiva, etc.)