Aproximación a $\pi$ con menos dígitos

Question

¿Tiene usted una manera eficiente de aproximar los dígitos $\pi$ ? Me refiero a la representación de muchos dígitos de $\pi$ utilizando sólo unos pocos dígitos numéricos y algún tipo de ecuación. Quizá las operaciones matemáticas también cuenten como penalización.

Por ejemplo, el conocido $\frac{355}{113}$ es una aproximación, pero sólo da 7 dígitos correctos al utilizar 6 dígitos (113355) en la propia aproximación. ¿Puedes hacer una mejor relación de dígitos ?

EDIT: para aclarar el "juego" asumamos que cada operación matemática (+, sqrt, potencia, ...) también cuenta como un dígito. Si no, se podrían hacer estructuras artificiales infinitamente anidadas de operaciones solamente. Y, preferiblemente, limitémonos a la aritmética básica y a las potencias/raíces.

EDIT: cierto. el logaritmo de los números imaginarios proporciona una manera fácil. no usemos los números complejos ya que es lo que tenía en mente. algo que se puede presentar a los no matemáticos :)

Answer 1

Utilizando fracciones continuas puedes obtener tantas proporciones como desees y todas las proporciones son lo mejor posible) :

Voy a robar parte de lo que escribí en este otro rosca ¡y adaptarlo!

Para utilizar fracciones continuas para la evaluación de $x=\pi$ .

En cada paso :

• nota la parte de los enteros $j\leftarrow \lfloor x\rfloor$ (ilustrado en azul)
• calcular la nueva fracción $f$ como se ilustra :
  • escribir la fracción anterior
  • multiplicar el numerador y el denominador por $j$
  • sumar el numerador y el denominador de la fracción anterior (empezando por $\frac 10$ )
• evaluar la parte fraccionaria $x\leftarrow x-j$
• parar cuando $x$ se convierte en $0$ o al menos muy pequeño (dependiendo de la precisión de su evaluación) o cuando decida también...
• Si no, calcula $x$ inverso multiplicativo de $x\leftarrow \frac 1x$ y repetir

$ \begin{array} {l|r|ccccc} x&j&&&&&f\\ \hline\\ 3.141592653589\cdots & \color{#0000ff}{3} & \color{#0000ff}{3}&=&\frac {\color{#0000ff}{3}}1&=&\frac 31\\ 1/0.141592\cdots=7.0625\cdots & \color{#0000ff}{7} &3+\cfrac 1{\color{#0000ff}{7}}&=& \frac {3\cdot \color{#0000ff}{7}+1}{1\cdot \color{#0000ff}{7} +0}&=&\frac {22}{7}\\ 1/7.0625\cdots=15.99659\cdots & \color{#0000ff}{15}&3+\cfrac 1{7+\cfrac 1{\color{#0000ff}{15}}}&=& \frac {22\cdot \color{#0000ff}{15}+3}{7\cdot \color{#0000ff}{15} +1}&=&\frac {333}{106}\\ 1/0.99659\cdots=1.0034172\cdots & \color{#0000ff}{1}&3+\cfrac 1{7+\cfrac 1{15+\cfrac 1{\color{#0000ff}{1}}}}&=& \frac {333\cdot \color{#0000ff}{1}+22}{106\cdot \color{#0000ff}{1} +7}&=&\frac {355}{113}\\ \cdots &\\ 1/0.003417231\cdots=292.63459\cdots & \color{#0000ff}{292}&3+\cfrac 1{7+\cfrac 1{15+\cfrac 1{1+\cfrac 1{\color{#0000ff}{292}}}}}&=& \frac {355\cdot \color{#0000ff}{292}+333}{113\cdot \color{#0000ff}{292} +106}&=&\frac {103993}{33102}\\ \cdots &\\ \end{array} $

sin fin desde $\pi$ ¡es trascendental!

Answer 2

Con las aproximaciones racionales puras, hay límites agudos (relacionados con el Teorema de Roth) en términos de hasta dónde se puede llegar.

En general, esto dependerá en gran medida de las operaciones permitidas. Por ejemplo, $$ \log(0-1)/\sqrt{0-1} $$ tiene 5 operaciones y 4 dígitos y es exacta.

Answer 3

Permítanme lanzar la sugerencia de Clive de mirar la página de la wikipedia. Si permitimos el logaritmo (sin usar números complejos), podemos obtener 30 dígitos de $\pi$ con

$\frac{\operatorname{ln}(640320^3+744)}{\sqrt{163}}$

que es de 13 dígitos y 5 operaciones, lo que da una relación de aproximadamente 18/30=0,6.

EDIT: Aquí hay otro que encontré en este sitio:

$\ln(31.8\ln(2)+\ln(3))$

da 11 dígitos de $\pi$ con el uso de 5 números y 4 operaciones.

Answer 4

Tal vez pueda utilizar el Algoritmo de Gauss Legendre ? Con 25 iteraciones, producirá más de 45 millones de dígitos

Por ejemplo, usa bc con la escala de deseos, y haz el algoritmo. Para una escala de 50, se obtiene :

$$\pi_0=\color{red}{2.91421356237309504880168872420969807856967187537693}$$ $$\pi_1=3.14\color{red}{057925052216824831133126897582331177344023751285}$$ $$\pi_2=3.1415926\color{red}{4621354228214934443198269577431443722334535}$$ $$\pi_3=3.141592653589793238\color{red}{27951277480186397438122550483492}$$ $$\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841971\color{red}{1467828263}$$ $$\pi_5=3.14159265358979323846264338327950288419716939937\color{red}{240}$$

(los últimos 3 dígitos de error no provienen del algoritmo sino de la escala limitada)

Para una escala de 1000, se obtiene :

$\pi_9=$ 3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164 $\color{red}{199382}$

Así que trabaja en una escala fija y se detiene cuando el algoritmo está casi en un punto fijo. Sólo los (muy) pocos últimos dígitos serán erróneos. Y sólo necesitas $\log(n)$ iteraciones para una escala de $n$ ( $n$ dígitos).

Answer 5

Este es un sitio que se centra en el cálculo numérico de aproximaciones racionales de $\pi$ : http://www.isi.edu/~johnh/BLOG/1999/0728_RATIONAL_PI/

Además, utilizando una forma truncada del fracción continua dará buenas aproximaciones. Las primeras fracciones dadas son $3$ , $22\over7$ , $333\over106$ , $355\over113$ , $103993 \over33102$ y $104348\over33215$ . Estos numeradores y denominadores vienen dados por el OEIS secuencias A002485 y A002486 respectivamente.

Le puede interesar esta página . En él se indica que $355 \over 113$ es la "mejor" aproximación racional (desde el punto de vista de la eficiencia) con un denominador inferior a 30.000.