¿Convexidad local implica convexidad global?

Question

Pregunta:

Bajo qué circunstancias local de hace convexidad implica global convexidad?

Motivación:

Clásicamente, una doble función derivable $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es convexa si y sólo si la segunda derivada es no negativa en todas partes. En esta última pregunta, Derivado de la Convexo Funcional, es muestra de que el mismo resultado se da dos veces Frechet diferenciable funcionales en espacios de Banach, $f:X\rightarrow \mathbb{R}$.

En ambos de estos casos, tenemos un resultado diciendo algo como: "local convexidad implica global convexidad". Hasta qué punto puede esta idea se generaliza?

La siguiente hipótesis, que puede o no puede ser verdad, expresa la idea de que en la mayoría de contexto general en que puedo pensar.

Conjetura: Vamos a $C$ ser conectado subconjunto de un espacio vectorial topológico, y dejar que $\{ U_\alpha \}_{\alpha \en A}$ ser una apertura de la tapa del límite de $\partial C$. Si $U_\alpha \cap C$ es convexo para todo $\alpha \in A$, entonces $C$ es convexa.

De manera informal, "Inspeccionar el límite de un conjunto conectado con una (de tamaño variable) de la lupa. Si, en todas partes usted mira, se ve convexo, entonces el conjunto a nivel mundial es convexa."

Ejemplo: $C$ es un cuadrado en $\mathbb{R}^2$ y $U_\alpha=B_i$ son bolas que cubre todos los 4 bordes y las esquinas.

No-ejemplo: $C$ es de dos distintos discos en $\mathbb{R}^2$.

De esto podemos ver que hay un elemento topológico a la pregunta - si la conexión condición es relajado, es muy fácil encontrarse con contraejemplos.

Notas:

• Yo me he vinculado a los términos clave de las páginas wiki. Es este un buen estilo en M. SE? La mayoría de las personas que podrían responder a la pregunta ya se sabe la definición. Por otro lado, cuando estoy respondiendo a una pregunta que no es inmediatamente obvio, muchas veces voy a abrir la página de la wiki y mirar a su alrededor, incluso si ya sé la definición.

• Un caso especial lo he estado considerando es donde el espacio de Banach, y el conjunto del límite es la ruta de acceso conectado y compacto. En este caso creo que es verdad pero la prueba es esquivo hasta ahora..

• En los comentarios de Chris Águila sugiere que la reduce a un 2D problema. No estoy seguro exactamente cómo funciona esto y si se va a generalizar a otros espacios distintos de $\mathbb{R}^n$.

• En los comentarios del Cardenal señala que es trivally falsa en la topología discreta - el límite de cualquier conjunto puede ser cubierto por los puntos abiertos. Joriki señala que este no es un problema ya que todos los que no son triviales grupos de interés no están conectados en la topología discreta.

• George Lowther observa que la conjetura es falsa en $\mathbb{R}^2$, a menos que otra limitación se añade que el conjunto es cerrado o abierto. El equipo abierto de la plaza unir con sus vértices es localmente convexo, pero no contienen los bordes por lo que no es globalmente convexo.

Answer 1

Suponemos que $X$ es un localmente convexo del espacio vectorial. Antes de demostrar que la conjetura es verdadera (bajo ciertas condiciones), nos muestran un útil lema.

Lema. Si un subconjunto $C$ de $X$ tiene la propiedad de que el límite puede ser cubierto por una tapa abierta $\{U_\alpha\}_{\alpha\en A}$ con la propiedad de que cada $U_\alpha\cap C$ es convexo, entonces el triángulo $$ \Delta(x,y,z):=\{(1-t)((1-s)x+sy)+tz:s,t\in[0,1)\} $$ está contenida en $C$ cada vez que las líneas $\ell_{x,y}:=\{(1-s)x+sy:s\in[0,1]\}$ y $\ell_{x,z}:=\{(1-t)x+tz:t\in[0,1]\}$ contenidas en $C$.

Prueba. Suponga que $\Delta(x,y,z)$ no está contenida en $C$. En la siguiente, la frontera y el interior son considerados en relación a la del triángulo de $\Delta(x,y,z)$.

Entre $s\in[0,1)$ con la propiedad de que la línea $$ \{(1-t)((1-s)x+sy)+tz:t\in[0,1)\}\cap \partial(C\cap\Delta(x,y,z))\neq\varnothing $$ hay un mínimo de $s_0$. Luego también hay un mínimo de $t_0$ entre $t\in[0,1)$ con la propiedad de que $$ u:=(1-t)((1-s_0)x+s_0y)+tz:t\en\partial(C\cap\Delta(x,y,z)) $$ Desde $u$ es en el límite de $C$, existe un $\alpha\in A$ con la propiedad de que $u\U_\alpha$. Entonces $U_\alpha\cap C\cap\Delta(x,y,z)$ es convexa. Pero tenga en cuenta que el conjunto de $$ \ell_{x,y}\cup\ell_{x,z}\cup\Delta(x,(1-s_0)x+s_0y,z), $$ donde el último triángulo tiene una definición similar como $\Delta(x,y,z)$, está contenida en $C$. La convexidad de $U_\alpha\cap C\cap\Delta(x,y,z)$ implica entonces que hay un costo de $\varepsilon>0$ tales que el punto de $$ (1-(t_0-\varepsilon))((1-s_0)x+s_0y)+(t_0-\varepsilon)z $$ está en el límite de $C\cap\Delta(x,y,z)$ menos $t_0=0$. El minimality de $t_0$, a continuación, nos da que $t_0=0$. Un argumento similar muestra que $s_0=0$ y sigue a su vez, de la convexidad de la frontera de $C$ que $x,y,z$ en una línea. Pero entonces $\Delta(x,y,z)$ es (contenido en) esta línea. QED.

Tenemos el siguiente corolario (en el caso abierto, un fácil ajuste de la anterior prueba tiene que ser dada).

Corolario. Si $X$ es abierto o cerrado, el triángulo $$ \overline{\Delta(x,y,z)}=\{(1-t)((1-s)x+sy)+tz:s,t\in[0,1]\} $$ está contenida en $C$.

Ahora estamos listos para respuesta positiva a la conjetura en el caso de que $C$ es abierto o cerrado.

La proposición. Suponga que $X$ es un localmente convexo espacio vectorial y supongamos que $C$ es un cerrado [abrir] subconjunto de $X$. Si existe una cubierta de $\{U_\alpha\}_{\alpha\en A}$ de $\partial C$ con la propiedad de que $U_\alpha\cap C$ es convexa por cada $\alpha\in A$, entonces $C$ es convexa.

Prueba. Supongamos que $C$ es un subconjunto de un localmente convexo espacio vectorial de $X$ y que $\{U_\alpha\}_{\alpha\en A}$ es un cover de el límite de $C$ con la propiedad de que $U_\alpha\cap C$ es convexa por cada $\alpha\en Un$.

En primer lugar, dejar que $B$ a ser una máxima entre los subconjuntos de $A$ con la propiedad de que el casco convexo de $\bigcup_{\alpha\B}U_\alpha$ contenida en $C$. Por ejemplo, un máximo de $B$ se puede encontrar con el lema de Zorn, mediante el poset $$ P:=\big\{B\subseteq A:\mathrm{Casco}\big(\estilo de texto\bigcup_{\alpha\B}U_\alpha\cap C\big)\subseteq C\big\} $$ ordenó la inclusión. Aquí, $\mathrm{Casco}$ denota la operación de tomar el convex hull.

Ahora vamos a $C^\prime$ ser una máxima subconjunto convexo de $C$ que contiene a $U_\alpha$ por cada $\alpha\in B$. He aquí un resumen de el resto de la prueba.

1. En primer lugar vamos a demostrar que si para $\alpha\$ $\beta\in B$ tales que $U_\alpha\cap U_\beta\cap C\neq\varnothing$, entonces $\alpha$ en $B$.
2. A continuación, vamos a mostrar que no hay puntos de límite de $C^\prime$ son los puntos del interior de la $C$. (Aquí vamos a utilizar la suposición de que $X$ es localmente convexo.)

Con estas dos observaciones la prueba es fácilmente terminado. Desde puntos de límite de $C^\prime$ son puntos de límite de $C$, se sigue que $C^\prime$ se cierra en $C$. El conjunto $$ U:=\textstyle\bigcup_{\alpha\B} U_\alpha\cup\mathrm{int}\,C^\prime $$ es un conjunto abierto con la propiedad de que $x\in C^\prime$ cuando $x\U,\cap C$ por lo tanto $C^\prime$ también está abierto en $C$. La conexión de los $C$ junto con el no-vacío de $C^\prime$ (siempre que $C$ es no-vacío) ahora implica que $C^\prime= C$.

La prueba de 1. Suponga que $x\in U_\alpha\cap U_\beta\cap C$. Tenga en cuenta que para cualquier $y\U_\alpha$, $\gamma\in B$ y $z\in U_\gamma$, la línea de $$ \ell_{y,z}:=\{(1-t)y+tz:t\in[0,1]\} $$ está contenida en $C$, que es una consecuencia del corolario porque la tenemos $\ell_{x,y}\subseteq U_\alpha\cap C\subseteq C$ y $\ell_{x,z}\subseteq C^\prime\subseteq C$. Por el maximality de $B$, se sigue que $\alpha\in B$.

La prueba de la 2. Suponga que $x^\prime$ en $\partial C^\prime\cap\mathrm{int}\,C$. Deje que $V$ ser un convexo abierto barrio de $x^\prime$ la cual está contenida en $C$, vamos a $$ y ser un punto de $V\setminus \bar{C^\prime}$ y dejar que $x$ ser un punto de $V\cap C^\prime$. Se sigue por el corolario de que por cada $z\in C^\prime$ de la línea $\ell_{y,z}$ está contenida en $C$, ya que las líneas $\ell_{x,y}$ y $\ell_{x,z}$. Por lo tanto, $C^\prime$ puede ser extendido para incluir $y$, lo que contradice la maximality de $C^\prime$. Por lo tanto podemos concluir que no hay puntos de límite de $C^\prime$ son los puntos del interior de la $C$. QED.

Answer 2

Hay una clásica resultado conocido como el de Tietze-Nakajima Teorema que más o menos responde a esta pregunta (al menos en lo finito dimensional espacios vectoriales).

Teorema Si $X$ es un cerrado, conectado y localmente convexo subconjunto de $\mathbb{R}^n$, entonces $X$ es convexa.

Aquí localmente convexo significa exactamente lo que usted propone en su post: por cada $x\in X$ no es una bola de $B_{\varepsilon}(x)$ centrado en $x$ tales que $B_{\varepsilon}(x)\cap X $ es convexo en el sentido usual de la palabra. Como usted señala, la definición sólo es importante para los puntos que están en el interior del conjunto.

La prueba se da una muy buena exposición en la Sección 2 del documento Revisando Tietze-Nakajima: Local y Global de la Convexidad de los Mapas (que también contiene una buena generalización de su conjetura, como sugiere el título). Recomiendo la lectura de ahí acerca de esto (si usted todavía está interesado): http://www.utm.utoronto.ca/~karshony/papers/convexidad-corrected2.pdf

Los documentos originales son:

H. De Tietze. "Uber Konvexheit im kleinen und im großen und uber gewisse den Punkter einer Menge zugeordete Dimensionszahlen." De matemáticas. Z. 28 (1928) 697-707.

S. Nakajima, "Uber konvexe Kurven y Flaschen", Tohoku Matemática Journal, vol. 29 (1928), 227-230.

Edit: he decidido añadir un esbozo de la prueba aquí:

1. Observar que si el conjunto $X$ es también compacto, entonces es localmente uniformemente convexa (las bolas, todo puede ser elegido con el mismo radio).
2. Definir la distancia $d_X(x,y)$ entre dos puntos $x,y\in X$ a ser el infimum de las longitudes de los caminos de $$ x $y$ en $X$.
3. Para cualquiera de los dos puntos $x_0,x_1,\in X$ existe un punto medio $x_{1/2}$, la mitad de la distancia entre $x_0$ y $x_1$ (esto utiliza closedness del conjunto).
4. Ahora tomamos dos puntos cualesquiera de $x_0,x_1,\in X$ y de forma iterativa, encontrar puntos medios hasta que haya una secuencia de $x_0, x_{1/2^j},\ldots ,x_{1-1/2^j},x_1$ de puntos de manera que la distancia entre cada uno en $X$ es $d_X(x_0,x_1)/2^j$.
5. Si nos cruzan $X$, con una gran bola cerrada $\overline{B}$ que contiene todos estos puntos (dar de radio $2d_X(x_0,x_1)$, por ejemplo), entonces por el uniforme de local convexidad de $ $ Y = X\cap \overline{B}$, hay algunos fijos $\varepsilon$ tales que $B_{\varepsilon}(y)\cap$ Y es convexa, para todos $y\in S$.
6. Vamos $j$ ser lo suficientemente grande que $$x_{k/2^j-1/2^j},x_{k/2^j+1/2^j}\en B_{\varepsilon}(x_{k/2^j})$$ para todo $k$. Por convexidad local, este dice que cada tres puntos consecutivos en la secuencia de contenidos en un segmento de línea en $X$. Por lo que el segmento de línea $[x_0,x_1]$ es la contenida en $X$.

Edit: Una infinita dimensiones de lo local a lo global convexidad resultado es demostrado en P. Birtea, J-P. Ortega, y T. S. Ratiu, "la Apertura y la convexidad para el impulso de los mapas", Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 361 (2009), no. 2, 603-630