Notación correcta para 'para todos positivo real $c$'

Question

Me pregunto cómo anotar "para todos los reales positivos valor de $c$"

Existe una notación correcta entre las siguientes? $$ \forall c \in \mathbb{R} > 0\\ \forall c \left( \in \mathbb{R} \right) > 0\\ \forall c > 0 \in \mathbb{R}\\ \forall c > 0 \left( \in \mathbb{R} \right)\\ $$

Mi objetivo final es la notación de la siguiente frase.

"$o(g(n))=\{f(n):$ Para cualquier constante real positiva del valor de $c$, hay una constante $n_0$ tal que $0 \le f(n) \lt cg(n)$ todos los $n \ge n_0\}$"

A mi juicio es $$ o(g(n))=\{f(n):\forall c>0(c\in\mathbb R), \existe n_0\in\mathbb{N} \ \ \ \ s.t.\ \forall n>n_0,\ \ 0 \le f(n) \lt cg(n)\} $$

Quiero corregir esta parte: $\forall c>0(c\in\mathbb R)$

Answer 1

Si a usted le gustaría tener misericordia de tu lector, por favor, no apriete demasiado muchos parientes. "$\forall c \in \mathbb{R} > 0$", por ejemplo, es legible, pero no es lógico, ni precisa.

Hay al menos dos maneras; la primera, es decir "para todos los $c \in \mathbb{R}$ tal que $c > 0$", y la otra es definir el conjunto de todos los reales $> 0$ y se dice que "para todos los $c$ en el conjunto ".

Usted también puede usar "para todos los positivos $c \in \mathbb{R}$", pero esto es un riesgo si no se especifica, en primer lugar, cuál es su "positivo" significa; para que la gente puede interpretar "positivo" de forma diferente.

En suma, la precisa, de forma segura y parece ser "para todos los $c \in \mathbb{R}$ tal que $c > 0$".

Answer 2

Veo que alguien ya ha explicado por qué no las opciones enumeradas. Alternativas, resumir comentarios:

1. $\forall c\in\mathbb R^+_0\text\ \{0\}$
2. $\forall c\in\mathbb R,c>0$
3. $\forall c\in (0,\infty)$

De comentarios:

4. $\forall c\in\mathbb R_{>0}$

(similares:esta pregunta)

Answer 3

Tal vez sólo puede poner así: $\forall c \in \mathbb{R}_*^+$.

Answer 4

Otra notación explicativa utilizado es $\mathbb{R}_{> c}$. Cualquier cosa más allá de half-line gamas necesitarían alguna notación de intervalo como $(a,b)$ o $]a,b[$.

Answer 5

La formal manera de escribir "para todos los $x$ tal que $\phi(x)$ mantiene, $\psi(x)$ también sostiene" es algo como lo siguiente:

$$ \forall x \,\phi(x) \implica\psi(x) $$

(Me dicen en los comentarios que uno necesita para agregar paréntesis alrededor de la implicación, pero estoy asumiendo los cuantificadores tienen una prioridad inferior a la de material de implicación; su notación puede variar)

Usted puede, a continuación, sustituya $x \in \mathbb{R} \wedge x > 0$$\phi(x)$, lo que nos da:

$$ \forall x \, (x \in \mathbb{R} \wedge x > 0) \implica\psi(x) $$

Este es formalmente correcto, pero no muy legible, me temo. En contextos menos formales, usted querrá usar una de las otras respuestas. Pero esto es lo que iba a escribir para automatizada de teoremas y otros contextos donde su notación tiene que estar perfectamente estándar.

(Por cierto, esto asume que usted está trabajando en la lógica clásica, que tiene la noción de vacío de la verdad, que es, $\bot \implies \psi$ es una tautología para cualquier $\psi$. En otras lógicas, que se ensucia y se tiene que especificar a qué te refieres con "tal que". También puede romper cosas por jugar con el dominio de discurso (por ejemplo, cualquier declaración acerca de los reales es cierto si no estamos hablando de los reales, para empezar!) y así sucesivamente, pero esto se convierte en metamathematical pedante.)