Notación correcta de la fórmula de la mediana

Question

¿Existe un equivalente a la fórmula de la media?

\begin {Ecuación} \mathrm {medios} = \cfrac {1}{N} \sum_ {i=1}^{N} X_i \end {Ecuación}

¿para la mediana?

Answer 1

Si se define $O_1, O_2, \ldots, O_N$ para ser la versión ordenada de sus datos originales $X_1, X_2, \ldots, X_N$ , entonces la mediana se define como:

$$ \mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right. $$

Sin ordenar sus datos, puede utilizar el definición de la mediana geométrica para definir la mediana en una dimensión:

$$ \mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big| $$

Nótese que esto no define necesariamente una mediana única cuando hay un número par de puntos; por ejemplo, cualquier número $y\in[3, 4]$ optimiza el objetivo con $X = \{2, 3, 4, 5\}$ .

Answer 2

Una forma alternativa de expresar la media es la estimación por "mínimos cuadrados":

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

Elegir $m $ para ser la media da el menor valor de la suma de errores al cuadrado.

Ahora la mediana puede expresarse como la estimación de la "menor desviación absoluta":

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

Elegir $m $ para ser la mediana da el menor valor de la suma de errores absolutos.

Answer 3

La mediana es el valor correspondiente al medio cuantil, es decir, la mitad de los valores son más altos, la mitad son más bajos (perdón por ignorar los casos con igualdad o cuando el conjunto es par...). De tal manera que dado que el pdf $p_X$ del conjunto de datos $X_1 \cdot X_n$ es conocida, entonces la distribución acumulativa se evalúa fácilmente. Observando $P_X$ esta función, entonces $$ median = P_X^{-1}(\frac 1 2) $$

Tomemos por ejemplo el caso de los ángulos en este método utilizado en este documento de revisión para la ecualización del histograma. El panel inferior izquierdo muestra el pdf $p(\theta)$ de ángulos en un conjunto de imágenes naturales. $P(\theta)$ es la distribución acumulativa y la mediana es el valor de $\theta$ correspondiente al valor $1/2$ , es decir, aproximadamente $0$ en ese caso.