Si un $1$ medidor de cuerda se corta en dos de manera uniforme elegido al azar de puntos (para dar tres piezas), ¿cuál es el promedio de la longitud de la pieza más pequeña?
Tengo esta pregunta como un rompecabezas matemáticos de un amigo. Es similar a MathOverflow pregunta Si se rompe un palo en dos puntos elegidos de manera uniforme, la probabilidad de que los tres resultante palos forman un triángulo es de 1/4.
Sin embargo, en este caso, tengo que encontrar a la espera de la longitud del segmento más pequeño. Los dos puntos donde la cuerda se corta, son seleccionados de manera uniforme al azar.
Traté de simular y como me dio un valor promedio de $0.1114$. Sospecho que la respuesta es de $1/9$ pero no tengo ninguna riguroso de matemáticas.
¿Cómo puedo resolver este problema?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mi enfoque es quizás el más ingenuo de los otros publicados.
Romper la unidad de intervalo en $x$ y $y$ donde $x < y$. Nuestro longitudes son de $x$, $y$ x, y $1 - $ y. No es difícil mostrar que todos ellos tienen probabilidad de $1/3$ de ser el más corto. En cualquier caso, nuestro conjunto PDF está dada por $f(x,y) = 6$ (desde $x$ y $y$ permanecer uniforme de variables aleatorias en $1/6$th de la plaza $[0,1] \times [0,1]$). Cada triángulo en el siguiente diagrama se corresponde con el dominio de la PDF para uno de los tres casos.
Voy a cuidar de el caso cuando $x$ es menor, es decir, $x \leq y - x$ y $x \leq 1 - y$. Este es el triángulo de la izquierda. Puesto que estamos suponiendo que $x$ es menos, que estamos buscando $$E[x] = \int_0^{1/3} \int_{2x}^{1 - x} 6x \;dy \;dx = 1/9$$
En los casos en que $y - x$ y $de 1$ y son más cortas son similares.
Actualización: La versión actual de esta respuesta es más intuitivo (en mi humilde opinión) que el anterior. Ver también este similar respuesta a una pregunta similar.
La generalización de este problema a $n$ piezas se discute ampliamente en David y Nagaraja del Orden de Estadísticas (p 133-135, y p. 153).
Si $X_1, X_2, \ldots, X_{n-1}$ denotar las posiciones en la cuerda donde se han hecho los cortes, deje de $V_i = X_i - X_{i-1}$, donde $X_0 = 0$ y $X_n = 1$. Por lo que el $V_i$'s son las longitudes de los trozos de cuerda.
La idea clave es que la probabilidad de que cualquier particular $k$ de la $V_i$'s al mismo tiempo tienen longitudes de más de $c_1, c_2, \ldots, c_k de dólares, respectivamente (donde $\sum_{i=1}^k c_i \leq 1$), $$(1-c_1-c_2-\ldots-c_k)^{n-1}.$$ Esto está demostrado formalmente en David y Nagaraja del Orden de Estadística, p. 135. Intuitivamente, la idea es que para tener piezas de tamaño al menos $c_1, c_2, \ldots, c_k$ todos $n-1$ de los cortes han de producirse en los intervalos de la cuerda de la longitud total de $1 - c_1 - c_2 - \ldots - c_k$. Por ejemplo, $P(V_1 > c_1)$ es la probabilidad de que la totalidad de los $n-1$ recortes se producen en el intervalo $(c_1, 1]$, el cual, debido a que los recortes están distribuidos al azar en $[0,1]$, $(1-c_1)^{n-1}$.
Si $V_{(1)}$ denota el menor trozo de cuerda, entonces $x \leq \frac{1}{n}$, (después de Raskolnikov del comentario) $$P(V_{(1)} > x) = P(V_1 > x, V_2 > x, \ldots, V_n > x) = (1 - nx)^{n-1}.$$
Por lo tanto, $$E[V_{(1)}] = \int_0^{\infty} P(V_{(1)} > x) dx = \int_0^{1/n} (1-nx)^{n-1} = \frac{1}{n^2}.$$
David y Nagaraja también dar la fórmula de Yuval Filmus menciona (como Problema 6.4.2):
$$E[V_{(r)}] = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^r \frac{1}{n-j+1}.$$
Si queremos dividir la cuerda en $n$ segmentos, a continuación, el $k$th segmento más grande tendrá la longitud esperada de $$\frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{k} \right),$$ pero no recuerdo por qué. En particular, el segmento más pequeño tiene la longitud esperada de $1/n^2$.
Tenga en cuenta que, equivalentemente, podemos gastar $$ n puntos al azar en un círculo de unidad de la circunferencia y considerar las longitudes de los segmentos en el círculo.
La derivación de la fórmula general de la fórmula para el segmento más pequeño
Len $n$ puntos de ser lanzado de manera uniforme en el círculo. Supongamos que el segmento más pequeño tiene una longitud de $x$. Podemos eliminar un prefijo inicial de longitud $x$ de cada segmento para obtener un uniforme generado conjunto de $n-1$ segmentos en un círculo de longitud $1-nx$. En este nuevo acuerdo, el segmento más pequeño tiene tamaño esperado de $(1-nx)/(n-1)^2$. Por lo tanto, el tamaño esperado del segundo segmento más pequeño es de $$Ex + \frac{1-nEx}{(n-1)^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1-1/n}{(n-1)^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n(n-1)}.$$ Podemos obtener la fórmula general de la misma manera.
La derivación de la fórmula para el segmento más pequeño
Utilice el mismo método y se vienen una vez más con una ecuación que te permitirán encontrar a este desconocido.
Aquí se tienen dos variables aleatorias independientes $X,$ Y, tanto uniforme en $[0,1]$. Vamos $A=\min (X,Y), B=\max (X,Y)$ y $C=\min (A, 1-B, B-A)$. En primer lugar usted quiere encontrar la probabilidad de función de densidad de $f_C(una)$ de $C$. Deje de $F_C(una)$ ser la función de distribución acumulativa. Entonces $$ 1 - F_C(a) = P(C\ge a)=P(a\ge a, 1-B\ge a, B-a\ge a)$$ $$=P(a\le X\le 1-a,\le Y\le 1-a, |X-Y|\ge a)$$ Este es igual al área total de los dos conjuntos $$\lbrace (x,y): 0\le x,y\le 1, y\le x-a, x\le 1-a, s\ge un\rbrace$$ y
$$\lbrace (x,y): 0\le x,y\le 1, y\ge x+a, x\ge una, y\le 1-\rbrace$$ que es de $(1-3a)^2$. Tenga en cuenta que para estos conjuntos no vacíos, uno debe tener $0\le\le 1/3$.
Por lo tanto $F_C(a)=1-(1-3a)^2$, de donde se desprende $f_C(a)=F_C'(a)=6(1-3a)$. Por lo tanto el valor esperado de $C$ es $$\int_0^{1/3} 6a(1-3a) da= \frac{1}{9}.$$
Si usted piensa que esto es como uniformemente al azar la elección de puntos de $[0,1]\times[0,1]$ y romper el cuadrado en los triángulos compartir la diagonal $y=x$, el valor esperado puede ser expresado como el doble de la integral de la función $f(x,y)=\min(x,y-x,1-y)$ más de la región de $0\leq x\leq y\leq 1$. Usted puede utilizar fórmulas explícitas para el valor mínimo de 2 números para calcular la integral. Probablemente hay un montón más en la simplificación de que se puede hacer. Si esto parece demasiado tedioso, por lo menos es algo que podría poner en Mathematica para encontrar la respuesta.
