Encontrar un mapa de conformación de semi-disco en la unidad de disco

Question

Esto viene directamente de Conway Análisis Complejo, VII.4, ejercicio 4.

Encontrar una analítica de la función $f$ que se asigna $G:=$ {${z: |z| < 1, Re(z) > 0}$} en $B(0; 1)$ en un uno a uno de la moda.

$B(0;1)$ es la de abrir la unidad de disco.

Mi primera intuición fue el uso de $z^2$, lo que hace el trabajo espléndidamente, excepto para el segmento de $(-1,0] \subset B(0;1)$. En $z^2$, la pre-imagen para este segmento es el segmento de $[-i,i]$, que no es en $G$.

Mi siguiente pensamiento es modificar $z^2$, algo como $a(z-h)^2+k$. Todavía tengo que trabajar en los detalles, pero mi instinto me dice que esta no es la idea correcta.

He estado enseñando a mí mismo de conformación de mapas en la preparación para un examen de calificación. Por lo tanto, si hay un sorprendentemente básica, la solución obvia... por favor patrocinar a mí.

Answer 1

El siguiente truco funciona para cualquier región limitada por dos arcos circulares (o un arco circular y una línea).

Encontrar los puntos de intersección del arco y de la línea. (Aquí, ellos son $i$$-i$.) Ahora elija una transformación de Möbius que lleva uno de esos puntos a $0$ y el otro a $\infty$; aquí $z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$ obras. A continuación, el arco y la línea de ir a dos rayos (debido a una transformación de Möbius envía círculos en $S^2$ a los círculos en $S^2$, y sólo en círculos en $S^2$ que pasa a través de ambos $0$ $\infty$ es una línea en $\Bbb C$), tanto a partir de $0$ y al salir de la $\infty$. Su dominio se asigna a la región delimitada por estos dos rayos.

Vamos a calcular los rayos. Basta con encontrar donde un solo punto en cada arco mapas; si $z_0$ está en el arco, el rayo se $\{f(z_0)t : 0 \leq t < \infty\}$. Yo digo que recoger $0$ a ser nuestro punto de elección en $Re(z) = 0$ $1$ a ser el punto de elección para el arco circular. Estos se asignan a $-1$ $-I$ respectivamente; así que nuestros dos arcos son de la negativa del eje real y el eje imaginario negativo. Me gustaría que el "menor" de arco a ser el eje real positivo, así que vamos a multiplicar por $-1$ a ello.

Así que tenemos un mapa de conformación de la mitad de su disco para el cuadrante superior-derecho dado por $z \mapsto -\frac{z-i}{z+i}$. La mitad superior del plano-es más agradable, así que vamos mapa para que elevando al cuadrado; ahora tenemos un mapa a la mitad superior del plano dado por $z \mapsto \frac{(z-i)^2}{(z+i)^2}$. (Para otras regiones delimitadas por los rayos que hacen diferentes ángulos, se llega a la mitad superior del plano por un $z \mapsto z^\beta$ para el adecuado $\beta$.)

Ahora hay un mapa estándar de la mitad superior del plano a la unidad de disco dado por $z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$. La composición de este con nuestro último mapa nos da un mapa de la semi-disco a la unidad de disco, dado por $$z \mapsto -i\frac{z^2+2z-1}{z^2-2z-1}.$$

Answer 2

Como complemento a las bellas respuestas, aquí están las fotos de la conformación propios mapas:

Empezamos con la mitad derecha de la unidad de disco, un mapa para el cuadrante superior derecho, la plaza esta a la mitad superior del plano -, y finalmente girar a la unidad de disco.