Desigualdad que implica sumas parciales exponenciales

Question

Consideremos las sumas parciales exponenciales $E_n(x) = \sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!}$ . Quiero demostrar que para todos $x \ge 0$ : $$2 \frac {E_{n-1}(x)} {E_n(x)} \ge \frac {E_{n}(x)} {E_{n+1}(x)} + \frac {E_{n-2}(x)} {E_{n-1}(x)}$$

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Mi enfoque hasta ahora

Primero observe que $E_{n-1}(x) = E_{n}(x) - \frac {x^n}{n!}$ . Así que la desigualdad se convierte en: $$2 \frac {E_{n}(x) - \frac {x^n}{n!}} {E_n(x)} \ge \frac {E_{n+1}(x) - \frac {x^{n+1}}{(n+1)!}} {E_{n+1}(x)} + \frac {E_{n-1}(x) - \frac {x^{n-1}}{(n-1)!}} {E_{n-1}(x)}$$ lo que lleva a $$2 \frac {\frac {x^n}{n!}} {E_n(x)} \le \frac {\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}} {E_{n+1}(x)} + \frac {\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}} {E_{n-1}(x)}$$

Así que todo lo que tenemos que demostrar es que $\frac {x^n} {n! E_n(x)}$ es convexo en $n$ . Desgraciadamente, no tuve mucha suerte al avanzar. Una buena dirección podría ser utilizar el hecho de que $n! E_n(x) = e^x \Gamma(n+1,x)$ , donde $\Gamma(n+1,x) = \int_x^\infty t^n e^{-t} \textrm{dt}$ es el función gamma incompleta . Creo que así podré demostrar la desigualdad analíticamente sin trabajar penosamente con factoriales y grandes sumas. Así que basta con demostrar que lo siguiente es convexo en función de $n$ : $$\frac {x^n} {\int_x^\infty t^n e^{-t} \textrm{dt}}$$

¿Alguna idea sobre cómo continuar? Desafortunadamente, las derivadas de la función gamma incompleta con respecto a $n$ no son tan agradables como las relativas a $x$ .

Answer 1

Después de thelionkingrafiki sólo tenemos que demostrar que, para $x > 0$ y $n \ge 1$ , $$ \frac{a_{n-1}}{E_{n-1}} +\frac{a_{n+1}}{E_{n+1}} -2\frac{a_{n}}{E_n} > 0, $$ donde $a_{n} = x^n/n!$ y $E_n = \sum_{k=0}^n a_k$ .

Resulta que la inversa $E_n/a_n$ es más fácil de manejar, por lo que definiremos $$ y_n \equiv \frac{E_n}{a_n} - 1. $$ y se puede demostrar por expansión directa que nuestra afirmación es equivalente a $$ (1 + 2 \, y_{n-1} - y_n)(y_{n-1} + y_{n+1} - 2 \, y_n) < 2 \, (y_n - y_{n-1})^2. $$

Ahora, expandiendo la suma tenemos \begin{align} y_n &= \frac{n}{x} + \frac{n(n-1)}{x^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{x^3} + \cdots + \frac{n!}{x^n} \\ y_n - y_{n-1} &= \frac{1}{x} + \frac{2\,(n-1)}{x^2} + \frac{3\,(n-1)(n-2)}{x^3} + \cdots + \frac{n!}{x^n} \\ &= \frac{1}{x}\left( 1 \, b_1 + 2 \, b_2 + 3 \, b_3 + \cdots + n \, b_n \right), \end{align} donde, $b_1 = 1$ y $$ b_k = \frac{ (n-1)\cdots (n - k + 1) } { x^{k+1} }, $$ para $k \ge 2$ .

Así, \begin{align} y_{n-1} + y_{n+1} - 2 \, y_n &= \frac{2}{x^2} + \frac{3\cdot 2 \, (n-1)}{x^3} + \frac{4\cdot 3 \,(n-1)(n-2)}{x^4} + \cdots + \frac{(n+1)!}{x^{n+1}}\\ &\le \frac{2}{x^2}\left( 1 + \frac{2^2 \, (n-1)}{x} + \frac{3^2 \,(n-1)(n-2)}{x^2} + \cdots + \frac{n^2 (n-1)!}{x^{n-1}} \right)\\ &= \frac{2}{x^2}\left( 1^2 \, b_1 + 2^2 \, b_2 + 3^2 \, b_2 + \cdots + n^2 \, b_n \right) \\ 1 + 2 \, y_{n-1} - y_n &= 1 + \frac{n-2}{x} + \frac{(n-1)(n-4)}{x^2} + \frac{(n-1)(n-2)(n-6)}{x^3} + \cdots - \frac{n!}{x^{n}}\\ &< 1 + \frac{n-1}{x} + \frac{(n-1)(n-2)}{x^2} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{x^3} + \cdots + \frac{(n-1)!}{x^{n-1}}\\ &= b_1 + b_2 + b_3 + \cdots + b_n. \end{align}

Finalmente, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos \begin{align} (1 + 2 \, y_{n-1} - y_n)(y_{n-1} + y_{n+1} - 2 \, y_n) &< \frac{2}{x^2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 \, b_k \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k \right) \\ &\le \frac{2}{x^2} \left( \sum_{k=1}^{n} k \, b_k \right)^2 \\ &= 2 \, \left(y_n - y_{n-1} \right)^2. \end{align} Q. E. D.