¿Cómo podemos resumir $\sin$ y $\cos$ serie cuando los ángulos están en progresión aritmética?

Question

¿Cómo podemos resumir $\sin$ y $\cos$ cuando los ángulos están en A.P (progresión aritmética) Por ejemplo, aquí está la suma de $\cos$ serie:

$$\sum_{k=0}^{n-1}\cos (a+k \cdot d) =\frac{\sin(n \times \frac{d}{2})}{\sin ( \frac{d}{2} )} \times \cos \biggl( \frac{ 2 a + (n-1)\cdot d}{2}\biggr)$$

Hay una ligera diferencia en el caso de $\sin$ que es: $$\sum_{k=0}^{n-1}\sin (a+k \cdot d) =\frac{\sin(n \times \frac{d}{2})}{\sin ( \frac{d}{2} )} \times \sin\biggl( \frac{2 a + (n-1)\cdot d}{2}\biggr)$$

¿Cómo demostramos las dos identidades anteriores?

Answer 1

Escribir $\cos x = \frac12 (e^{ix} + e^{-ix})$ reducirá el problema a calcular dos sumas geométricas.

Answer 2

Por la identidad de Euler sabemos que $\cos (a+kd) = \text{Re}\{e^{i(a+kd)}\}$ y $\sin (a+kd) = \text{Im}\{e^{i(a+kd)}\}$ . $\,$ Así,

$$\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1} \cos (a+kd) &= \sum_{k=0}^{n-1} \text{Re}\{e^{i(a+kd)}\}\\\\ &=\text{Re}\left(\sum_{k=0}^{n-1} e^{i(a+kd)}\right)\\\\ &=\text{Re}\left(e^{ia} \sum_{k=0}^{n-1} (e^{id})^{k} \right)\\\\ &=\text{Re} \left( e^{ia} \frac{1-e^{idN}}{1-e^{id}}\right) \\\\ &=\text{Re} \left( e^{ia} \frac{e^{idN/2}(e^{-idN/2}-e^{idN/2})}{e^{id/2}(e^{-id/2}-e^{id/2})}\right) \\\\ &=\frac{\cos(a+(N-1)d/2)\sin(Nd/2)}{\sin(d/2)} \end{align}$$

como se iba a demostrar. Igualmente para la identidad de la función seno, se sigue el mismo procedimiento y se toma la parte imaginaria de la suma en lugar de la parte real.