Encontrar una función $f\colon\mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}$, $f \in C^{\infty}$, tal que $\nabla f = 0$ exactamente $100$ puntos y en estos puntos no son sólo los mínimos locales.
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Lukas Geyer
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Aquí es un argumento fácil para la existencia de una función de este tipo, aunque no da ninguna fórmula en particular. Empezar con un tanto arbitraria función suave, con al menos 100 de los mínimos, por ejemplo, $g(x,y) = \cos x \cos y$. Escoge un simplemente se conecta el dominio $D$ en el plano que contiene exactamente 100 de mínimos y no otros los ceros de la gradiente. Existe un suave diffeomorphism $h:\mathbb{R}^2 \to D$. Ahora defina $f:=g \circ h$, y tiene su función. Si uno empieza con una buena función $g$ como el dado, el resultado es $f$ tendrá todos los mínimos estrictos y los puntos críticos de todos los no-degenerada, es decir, la matriz Hessiana será positiva definida en todos ellos.
mathreadler
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3517
Para $R \rightarrow R$ usted puede elegir la función de $1+cos(2\pi x) + ({(x/5^{1/2})}^2)$ a 10 de los mínimos. Para $R \rightarrow R^2$ usted puede dejar que la y el factor de ser $\exp(-y^2)$ o si $C^\infty$ requerido, el "bache" de la función. Que garantice que la función sólo tiene mínimos locales a lo largo de la y=0.
