Dejemos que $V,W$ sean dos espacios vectoriales normados (sobre un campo $K$ ). Entonces su producto $V \times W$ con la norma $\|(x,y)\| = \|x\|_V + \|y\|_W$ es un espacio normado.
Utilizando esta norma es fácil demostrar que si $V,W$ son completos, entonces también lo son $V \times W$ . Para ver esto, dejemos que el límite de la secuencia $(x_n , y_n)$ sea $(x,y) = (\lim x_n, \lim y_n)$ . Entonces para $n$ lo suficientemente grande, tanto $\|x - x_n\|_V$ y $\|y - y_n\|_W$ son menores que $\varepsilon / 2$ y por lo tanto $\|(x,y) - (x_n, y_n)\|< \varepsilon$ .
La otra dirección no se sostiene (probablemente). ¿Puede alguien mostrarme un ejemplo de un espacio $V \times W$ que está completo pero $V$ o $W$ (o ambos) no lo son?
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La estructura del espacio vectorial es completamente irrelevante aquí. Si $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ son espacios métricos no vacíos, se puede equiparar su producto con la métrica $d_{X \times Y}((x,y),(x',y')) = d_X(x,x') + d_Y(y,y')$ y exactamente el mismo argumento de Davide muestra que $X \times Y$ es completa si y sólo si $X$ y $Y$ están completos.
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@t.b. ¡Gracias por señalarlo!
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@t.b. Tenía esta confusión tan fundamental y tan estúpida de mantener separadas las propiedades topológicas y las lineales. No digo que esté curado pero por fin entiendo que si tengo dos espacios lineales normados $X,Y$ Puedo definir cualquier $\ell^p$ norma sobre ellos y se inducirá la misma topología que la topología del producto (lo mostré hace un momento para $p=1$ ). Estaba confundiendo las propiedades lineales con las topológicas porque en espacios de dimensión finita sé que todas las normas son equivalentes. Pero la otra forma no funciona en general. Pero en el caso de un producto finito y un $\ell^p$ norma lo hace.
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Lo siento: no entiendo lo que quiere decir en sus dos últimas frases. ¿Hay una pregunta?
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@t.b. No me quedó claro que la norma $\|(x,y)\|_{\ell^1} = \|x\|_X + \|y\|_Y$ me daría la misma topología que la del producto. Creo que mi redacción sigue siendo incorrecta debido a que sigue siendo confusa. Quería decir: (1) que sabía que si $\{X_i\}_{i=1}^n$ son todos de dimensión finita, entonces puedo poner cualquier norma en $\prod_i X_i$ y obtener la misma topología que la del producto. (2) Esto también es válido si el $\prod_i X_i$ son de dimensión infinita porque puedo demostrar que si uso $\ell^1$ en el producto, obtengo la topología del producto. Para concluir: la dimensión en este caso no es relevante.
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@t.b. Ahora has editado: no, no hay duda. Puedes considerarlo un monólogo e ignorarlo...
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Sólo tienes que usar eso si tienes $n$ factores entonces $\max_i\{\lVert x_i \rVert_{X_i}\} \leq \sum_{i} \lVert x_i \rVert_{X_i} \leq n \cdot \max_i\{\lVert x_i \rVert_{X_i}\}$ y el máximo da la topología del producto. Si tienes infinitos factores la cosa cambia.