Esto incluye una respuesta a la pregunta original publicado, modificado para responder a la última versión de la pregunta en el momento de la escritura. He dejado la respuesta original, ya que incluye una observación (y un ejemplo de cómo esa observación se aplica), que ilustra por qué la gente está un poco descuidado acerca de la diferenciación entre las clases de equivalencia y sus representantes.
La norma en $L^\infty[0,1]$, es esencial el supremum, por lo que "ignora" cambios en el nulo conjuntos. Por $\|f\|$ a continuación, me refiero a la esencial supremum norma.
Yo uso $[f]$ a la media de la clase de equivalencia de a $f$, la notación es potencialmente confuso, pero el contexto se desambiguar. Por $f_1 \sim f_2$, me refiero a que $\{x | f_1(x) \neq f_2(x) \}$ es un conjunto null.
Uno se identifica $C[0,1]$ con un subconjunto de a $L^\infty[0,1]$ tomando clases de equivalencia, es decir, que realmente estamos tratando con $\{[f] | f \in C[0,1] \}$, que es un subconjunto de a $L^\infty[0,1]$. (Por otro lado, la continuidad significa que la identificación de $f \mapsto [f]$ es inyectiva.)
(Yo uso $m$ a continuación para indicar la medida de Lebesgue, sin embargo, la observación se mantiene para cualquier medida, por supuesto. La posterior demostración de 'no ser denso' no depende de la medida de Lebesgue.)
Observación: Supongamos $P$ es de alguna propiedad en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ según sea el caso), y supongamos $f_1 \sim f_2$. Luego tenemos a $m \{x | P(f_1(x)) \} = m \{x | P(f_2(x)) \}$. De esta manera se sigue desde $f_1(x) = f_2(x)$.e. $x$. Así que a pesar de $[f]$ es una clase de equivalencia, podemos pensar en $m \{x | P(\,[f]\,(x)) \}$ con el entendimiento de que en realidad queremos decir $m \{x | P(f(x)) \}$ por algún representante de la $f \in [f]$. Esto es lo que nos permite ser un poco indiferentes al tratar con una función frente a su clase de equivalencia.
La anterior observación puede extenderse considerablemente, pero vagamente la idea es que la medida del conjunto de puntos que satisface un 'bonito' de la propiedad es independiente de las representaciones particulares de las clases de equivalencia. Por un 'bonito' de la propiedad, me refiero a una propiedad, cuyo valor de verdad en $x$ sólo depende de los valores de las representaciones en $x$.
Ahora considere el $ [1_{[\frac{1}{2},1]}]$, e $[c]$ donde $c \in C[0,1]$.
Puedo reclamar $\|[1_{[\frac{1}{2},1]}]-[c] \| \ge \frac{1}{2}$, y desde $c$ fue arbitraria, podemos ver que $C[0,1]/ \sim$ no puede ser denso en $L^\infty[0,1]$.
Para ver por qué la afirmación es verdadera, vamos a probar la declaración de los representantes específicos de $[1_{[\frac{1}{2},1]}], [c]$ (es decir, $1_{[\frac{1}{2},1]}, c$ respectivamente) y, a continuación, invocar la observación anterior para concluir.
Deje $\gamma =c(\frac{1}{2})$. Tenemos $|\gamma-1|+|\gamma| \ge 1$, y por lo tanto
$\max(|\gamma-1|, |\gamma|) \ge \frac{1}{2}$. La continuidad de la $c$ implica que para cualquier $\epsilon>0$, hay un $\delta >0$ tal que $|c(x)-\gamma| < \epsilon$ siempre $x \in B(\frac{1}{2}, \delta)$. Tomando nota de que si $x \in B(\frac{1}{2}, \delta)$,$1-x \in B(\frac{1}{2}, \delta)$, obtenemos $\max(|c(1-x)|, |c(x)-1|) \ge \max(|\gamma|-\epsilon, |\gamma-1|-\epsilon) \ge \frac{1}{2}-\epsilon$. Por tanto, para $x\in (\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\delta)$,$\max(|c(1-x)-1_{[\frac{1}{2},1]}(1-x)|, |c(x)-1_{[\frac{1}{2},1]}(x)|) \ge \frac{1}{2}-\epsilon$.
En particular, $m \{x |\ |c(x)-1_{[\frac{1}{2},1]}(x)| \ge \frac{1}{2}-\epsilon \} \ge \delta >0$. La observación anterior muestra que esto es cierto para todos los $c'\in [c], f'\in [1_{[\frac{1}{2},1]}]$, por lo que se deduce de la definición esencial de supremum que $\|[c]-[1_{[\frac{1}{2},1]}]\| \ge \frac{1}{2}$.
