¿Por qué es tan difícil encontrar libros para principiantes en Geometría Algebraica?

Question

No entiendo por qué es tan difícil encontrar un realmente libro para principiantes en Geometría Algebraica. Tomemos por ejemplo Las curvas algebraicas de Fulton: Una introducción a la geometría algebraica . Ya he escuchado en MSE y a algunos alumnos de mi universidad decir que es muy concisa y deja las pruebas como ejercicios a los alumnos, con lo que personalmente estoy de acuerdo. Lo último que he oído sobre este libro es de un profesor de mi universidad (ya es un poco mayor, pero fue un investigador muy prolífico en Geometría Algebraica), dijo que el capítulo 7 es muy difícil de entender y tiene muchos cálculos difíciles y que nunca de este capítulo.

Hay otros libros de introducción, pero son muy pocos y echan en falta algunas cosas que debería tener un buen libro de introducción.

Creo que esto no ocurre en Análisis y Álgebra Abstracta, por ejemplo. Hay un montón de buenos libros de introducción con pruebas muy detalladas, soluciones a ejercicios y demás. No me imagino a un muy buen investigador en Análisis diciendo "nunca he entendido este capítulo sobre la continuidad del libro introductorio del autor ". $X$ ".

¿Por qué ocurre esto con la Geometría Algebraica? ¿Será porque esta área es muy reciente? ¿O porque no hay muchos compradores de libros de Geometría Algebraica? O porque esta área es realmente muy difícil de entender (y nunca tendrá un buen libro para principiantes).

Gracias.

Answer 1

1) "¿Tal vez porque esta zona es muy reciente?"
No, la geometría algebraica se remonta al menos a Descartes y Fermat y es esencialmente tan antigua como el cálculo.
2) "¿Porque no hay muchos compradores de libros de geometría algebraica?"
No, eso es irrelevante.
A los autores no les importa, ya que saben muy bien que cualquier libro que supere el nivel de álgebra lineal o cálculo no les reportará dinero.
Lo más sorprendente es que a los editores tampoco parece importarles: A veces me han pedido que escriba un libro, pero estaba bastante claro que a los representantes de las editoriales no les interesaba demasiado el contenido, sino que sólo querían añadir títulos a su catálogo.

3) "...dijo que el capítulo 7 es muy difícil de entender y tiene muchos cálculos difíciles y que nunca comprendido plenamente este capítulo"
La franqueza de este profesor es muy de admirar y creo que, como dices, hizo buenas investigaciones en geometría algebraica.
Ha señalado el núcleo del problema: la geometría algebraica es, en efecto, extremadamente difícil de penetrar, precisamente porque es un tema tan antiguo que la gente ha atacado con una gran variedad de herramientas no relacionadas. Para más detalles, consulte esta respuesta .

4) Un reto.
Siempre existe una cónica que pasa por cinco puntos en el plano proyectivo.
Dados seis puntos en dicho plano, ¿qué condición deben cumplir para que una cónica pase por todos ellos?
Me interesaría conocer la opinión de un geómetra algebraico no profesional sobre este problema, que ilustra un punto que expondré más adelante.

Edición: Respuesta al reto
Considere los seis puntos $p_1,\cdots,p_6$ y el hexágono que determinan. Los tres pares de lados opuestos se cruzan en tres puntos $$A_1=(p_1p_2)\cap (p_4p_5), A_2=(p_2p_3)\cap (p_5p_6),A_3=(p_3p_4)\cap (p_6p_1) $$ Existe una cónica que pasa por estos seis puntos $p_i$ si y sólo si los puntos $A_1,A_2,A_3$ son colineales.
Este resultado tan bonito es el teorema de Pascal (+ su inverso), que encontró en 1640 a la edad de 16 años.
Lo que quiero decir es que uno no podría llegar a esa solución ni siquiera después de haber leído y entendió las más de 10000 páginas del proyecto EGA+SGA+Stacks.
El hecho de que la geometría algebraica sea tan vasta, abarcando desde este teorema de Pascal hasta la pila de módulos de las curvas, explica por qué escribir un libro introductorio completo sobre el tema es una misión esencialmente imposible.

Answer 2

Para que quede claro, no soy un experto en esta área (de hecho, estoy aprendiendo de Fulton, al igual que tú), pero pensé en aportar mis dos centavos.

Primero, una recomendación para un "libro realmente para principiantes":. Ideales, variedades y algoritmos por Cox, Little y O'Shea . Este es uno de los libros de matemáticas más amistosos que he leído, y el énfasis en la computación y los algoritmos asegura que se vean muchos ejemplos concretos. Los requisitos previos son muy mínimo: ¡ni siquiera suponen que sepas lo que es un ideal! Otro recurso útil, con muchos elementos visuales, es Sitio de Donu Arapura .

Fulton es muy escueto, y a veces es un poco ligero a la hora de intuir al lector. Pero hay que apreciar este estilo: cada frase tiene un propósito claro, sin comentarios extraños. Y muchos otros libros son tan largos que intimidan: basta con ver el libro de Ravi Vakil casi 800 páginas de notas o los incontables y densos volúmenes de la obra de Grothendieck EGA , SGA y FGA .

Pero sólo porque un capítulo de Fulton tenga sólo media docena de páginas no significa que no deberías pasar una semana o más en ella. Creo que tu comprensión será mucho más clara si dedicas el primer día a trabajar con ejemplos sencillos y fáciles para hacerte con las definiciones y los teoremas. Para mí, a menudo fueron estos ejemplos los que realmente ilustraron el significado de estas definiciones y resultados. Por ejemplo, en Cox, Little y O'Shea, sentí que cada capítulo incluía una referencia al cúbico retorcido. Tener este ejemplo en mente mientras leía el nuevo material hacía que las cosas fueran mucho más concretas y comprensibles.

Por tu pregunta suenas un poco desanimado, así que recuerda que un poco de motivación ¡siempre ayuda, también!