Coordenadas libre de la relatividad, ¿cómo podemos definir un vector?

Question

La relatividad puede ser desarrollado sin coordenadas: Laurent 1994 (SR), Winitzski 2007 (GR).

Yo normalmente definir un vector por sus propiedades de transformación: es algo cuyos componentes se cambian de acuerdo a una transformación de Lorentz cuando hacemos un impulso de un marco de referencia a otro. Pero en una coordenada libre de enfoque, no hablamos acerca de los componentes, y los vectores son considerados como inmutables. Por ejemplo, Laurent describe un observador, un timelike vector unitario $U$, y para cualquier otro vector $v$, que él define $t$ $r$ únicamente por $v=tU+r$ donde $r$ es ortogonal a $U$. El $(t,r)$ par es lo que normalmente consideramos como coordinar la representación de $v$.

En estos enfoques, ¿cómo se puede definir un vector, y ¿cómo se diferencian de las cosas como escalares, pseudovectors, rango-2 tensores, o objetos al azar tomado de algo que tiene la estructura de un espacio vectorial, pero que en coordenadas dependientes de las descripciones claramente no transformar de acuerdo a la transformación de Lorentz? Parece vacuo decir que un vector es algo que vive en el espacio de la tangente, ya que lo que quiero decir es que vive en un espacio vectorial isomorfo al espacio de la tangente, y cualquier vector del espacio de la misma dimensión es isomorfo a.

[EDITAR] no estoy pidiendo una definición de un vector tangente. Me estoy preguntando qué criterio se puede usar para decidir si un determinado objeto puede ser descrito como un vector tangente. Por ejemplo, ¿cómo sabemos que en este coordinar libre de contexto que el de cuatro impulso puede ser descrito como un vector, pero el campo magnético no puede? Mi respuesta normal habría sido que el campo magnético no transforman como un vector, se transforma como una pieza de un tensor. Pero si no podemos apelar a esa definición, ¿cómo sabemos que el campo magnético no vivir en el espacio vectorial tangente?

Bertel Laurent, Introducción al espacio-tiempo: un primer curso sobre la relatividad

Sergei Winitzki, de los Temas de teoría general de la relatividad, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity

Answer 1

Honestamente, este coordinar libre de GR cosas (Winitzki pdf en particular) parece GR como iba a ser enseñado por un matemático, muy similar a do Carmo del texto en la geometría de Riemann. En el clásico de (pseudo-)geometría de Riemann, los vectores se definen como los derivados de los afín con parámetros de las curvas, covectors como los mapas de vectores escalares o como los gradientes de campos escalares. Algo así como el tensor de Riemann se define como un mapa en dos/tres/cuatro vectores de escupir dos vectores/un vector/un escalar.

Diferencial de los geómetras amor definir todo como una asignación; considero que es casi un fetiche, honestamente. Pero es muy práctico: la definición más alto del ranking de los tensores como asignaciones de vectores significa que el tensor de la que hereda la transformación de las leyes de cada argumento, y como tal, una vez que se establece la transformación de la ley por un vector, el más alto del ranking de los tensores,' las leyes de transformación seguir automáticamente.

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Edit: veo que la pregunta es más bien cómo se puede averiguar una determinada magnitud física es un vector o superior clasificó tensor. Creo que la respuesta hay que mirar la cantidad del comportamiento bajo un cambio de coordenadas del gráfico.

Pero Muphrid, nunca nos eligió un gráfico de coordenadas en el primer lugar; no es que cómo coordinar libre de GR funciona?

Sí, pero el punto de coordenadas libre de GR es sólo para retrasar la elección de la tabla el mayor tiempo posible. Todavía hay un gráfico, y la mayoría de los resultados dependen de no ser un gráfico, no sólo en lo que exactamente ese gráfico.

¿Cómo se busca un cambio de gráfico (cuando nunca nos eligió un gráfico en el primer lugar), nos ayudan?

La transición mapa a partir de un gráfico a otro, es un diffeomorphism, por lo que su diferencial puede ser utilizado para empujar los vectores hacia adelante o tirar covectors de la espalda. Por lo tanto, la transformación de las leyes que suele caracterizar a los vectores y covectors todavía están allí. Se parecen a esto: vamos a $p \in M$ ser un punto a nuestro general relativista del colector. Deje $\phi_1: M \to \mathbb R^4$ ser un gráfico, y deje $\phi_2 : M \to \mathbb R^4$ ser otro gráfico. A continuación, hay una transición mapa de $f : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$ tal que $f = \phi_2 \circ \phi_1^{-1}$ que cambios entre las coordenadas de los gráficos.

Por lo tanto, si existe un vector $v \in T_p M$, existe un vector correspondiente $v_1 = d\phi_1(v)_p \in \mathbb R^4$ que es el mapa del vector original en el $\phi_1$ coordinar gráfico. Podemos, a continuación, mueva $v_1 \to v_2$ el (edit: diferencial de la transición mapa.

Pero Muphrid, no estamos destinados a estar trabajando con el vector real $v$ en el espacio de la tangente de $M$$p$, no su expresión en un gráfico, $d\phi_1(v)$?

Se podría pensar eso, pero (como se perforó a mí en varias ocasiones en un curso de geometría diferencial) no podemos realmente saber cómo hacer cualquier cálculo en otra cosa que $\mathbb R^n$. Así que creo que hay algún juego de manos en donde "realmente" lo que hacemos todo el tiempo es utilizar algún gráfico para mover en $\mathbb R^4$ y hacer el cálculo que debemos hacer.

Lo que esto significa es que, en mi opinión, coordinar-libre es un poco de un nombre inapropiado. Todavía hay coordinar los gráficos de todo el lugar. Acabamos de salir de ellos indeterminado tanto tiempo como sea posible. Todos los las leyes de transformación que caracterizan a los vectores y covectors y el resto de los rangos de los tensores están todavía allí y todavía le permiten determinar si un objeto es uno o el otro, porque siempre estás en algún gráfico, y siempre se puede cambiar entre los gráficos.

Answer 2

Hay 4 definiciones comunes de los vectores de tangentes, algunas de las cuales hacen uso de coordenadas sólo de manera ocasional o incluso en absoluto.

Definición a través de la transformación de las leyes

Hay un poco de la técnica preferida por algunos físicos (los que el valor de las reglas de cálculo de más de insight geométrico - cállate y calcular, usted probablemente sabe que el tipo): Un vector es sólo un $\mathbb R$-tupla que obedece a cierta transformación de las leyes bajo un cambio de coordenadas.

Esta definición realmente tiene sentido en el contexto del programa de Erlangen, como el espacio de la tangente es un vector paquete asociado a la principal paquete de marcos lineales. Sin embargo, como la tangente espacios son normalmente introducido mucho antes de que la mentira de los grupos del director y de los paquetes, la definición parece poco intuitivo.

Definición de clases de equivalencia de curvas

Más intuitivo que uno define un vector como una clase de equivalencia de curvas tangentes a cada uno de los otros. Necesitamos hacer uso de coordenadas para definir el boton de primer orden de contacto de curvas, pero este uso es mucho menos prominente.

Esta definición deja en claro por qué tangente vectores debe ser considerado velocidades y viene con un natural de la generalización a más de chorro de espacios.

Definición como derivaciones

Llegamos a una totalmente coordinar independiente de la caracterización mediante la identificación de vectores con sus derivadas direccionales: Un vector es sólo una derivación, es decir, un funcional lineal que respeta la regla de Leibniz.

Esa es la definición que se puede encontrar en (la mayoría?) la literatura moderna sobre la geometría diferencial (donde moderno significa algo así como la de los años 60).

Algebraicas definición

Otro coordinar libre (pero muy abstracta uno) proviene de la geometría algebraica, y Muphrid braught a mi atención ayer: Hay una puramente algebraicas definición de la cotangente del espacio, y el espacio de la tangente es sólo su doble.

Sospecho que el algebraicas definición puede probablemente ser más concreto (de una analítica punto de vista) en términos de infinitesimals (ver Cálculo Avanzado por Sternberg para una definición de infinitesimals que tiene sentido en el análisis estándar, pero es, por supuesto, no idéntica a la de la no-estándar).

Answer 3

No estoy pidiendo una definición de un vector tangente. Me estoy preguntando qué criterio se puede usar para decidir si un determinado objeto puede ser descrito como un vector tangente. Por ejemplo, ¿cómo sabemos que en este coordinar libre de contexto que el de cuatro impulso puede ser descrito como un vector, pero el campo magnético no puede?

Si entiendo tu aclaración correctamente, tu pregunta es realmente acerca de la modelización de sistemas físicos, y mi respuesta es genérico:

Igual que con cualquier otra teoría física, mediante la comparación de las predicciones de nuestro modelo con el experimento.

Independientemente de si usamos coordenadas o coordinar un lenguaje libre, la geometría predice propiedades (por ejemplo, las leyes de transformación) y operaciones permitidas (por ejemplo, la contracción) mediante la modelización de las cantidades físicas, como el geométrico.

Tomar elektrodynamics: En el no-relativista de configuración, nos ocupamos eléctricos y magnéticos 3-vectorfields y use el producto cruz para definir la fuerza de Lorentz. Lo hacemos de esta manera porque experimento nos dice que es como en realidad funciona en algún nivel.

Ahora, si tratamos de hacer un relativista, la teoría de que, no podemos hacer uso de 3-vectores o de los productos cruzados, y resulta que la forma correcta de modelar el campo electromagnético es como una 2-forma, la fuerza de Lorentz de la ley de terminar como la contracción con la velocidad de 4-vector.

El beneficio de la formulación relativista es que tenemos la correcta transformación de las leyes de forma gratuita, es decir, que son una parte inherente de nuestro modelo.

Ahora, una 2-forma es un objeto genérico, y podríamos preguntarnos si hay una manera de entender de dónde viene o si hay adicional de la estructura geométrica. Esto nos lleva a la clásica teoría de gauge en los principales paquetes.

Otro caso sería el de configuración general de la mecánica relativista: Relativista de los sistemas debe ser reparametrization-invariante, y podemos formulado tales mundo de la línea de la dinámica que va de ordinario jets jets de submanifolds.

¿Cuál es el beneficio del uso de las coordenadas de un lenguaje libre de más de coordenadas en esto? Personalmente, yo lo veo como una forma de comprobación de validez: No ser capaz de escribir una ecuación que se convierte en el modelo en coordenadas de idiomas gratis es un diseño de olor y te dice que has perdido parte de la estructura.

Tome las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica:

Desde una vista de pájaro, la dinámica está dada por un campo de vectores $Z$ en algunas de las múltiples.

En Newtoniano y Hamiltoniana de la mecánica, que no puede ser definida en coordenadas lenguaje libre a través de $$ (\pi\circ F)_*Z = F $$ donde $\pi:\mathrm{TT}^*M\to\mathrm{T}^*M$ y $$ Z\rfloor\omega = \mathrm dH $$ respectivamente.

No sé cómo hacer esto en el caso de Euler-Lagrange las ecuaciones, y, de hecho, tengo que admitir que realmente no he interiorizado la estructura geométrica de Lagrange teorías (véase, por ejemplo arXiv:0908.1886 y este PDF).

Por ahora, estoy contento con simplemente ir a un Newtoniano descripción $$ (\mathbb FL)_*Z = \iota\circ\mathrm dL $$ a través de la natural isomorfismo $\iota:\mathrm{T}^*\mathrm{T}M\to\mathrm{TT}^*M$, o incluso a una formulación Hamiltoniana $$ Z\rfloor\mathbb FL^*\omega = \mathrm dE $$

Answer 4

De MTW de la "Gravitación" (a través de la búsqueda de Libros de Google):

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Respuesta actualizada a editar pregunta:

Por ejemplo, ¿cómo sabemos que en este coordinar libre de contexto que el cuatro impulso puede ser descrito como un vector, pero el campo magnético no puede?

Me recuerda una sección correspondiente de "Un Primer Curso de teoría General de la Relatividad" de Schutz. En la sección 4.4 de la tensión tensor de energía:

En el marco de $\bar O$ tenemos de nuevo el número, la densidad es $\gamma n$, pero ahora la energía de cada partícula es $\gamma m$ desde que está en movimiento. Por lo tanto, la densidad de energía es $\gamma^2 mn$:

$ \gamma^2 \rho = $ densidad de energía en un marco en el que las partículas tienen la velocidad v

Esta transformación implica dos factores de $\gamma$ porque ambos el volumen y la energía de transformación. Es imposible, por tanto, representan la densidad de energía como algunos de los componentes de un vector. Es, en de hecho, un componente de un [2do rango] tensor.

Answer 5

Incluyo un par de comentarios de aquí, mis disculpas si dejan de ser relevantes.

Sucede que me la lectura de Cartan para Principiantes por Thomas Ivey y J. M Landsberg. En el primer Capítulo se describe la forma de "hacer" ecuaciones diferenciales sin coordenadas. Es muy hermosa. En algún punto de la matemáticas de Exterior Diferencial de los Sistemas es digno de una mirada mucho porque están muy interesados en encontrar un método sistemático de conversión de coordenadas teorías basadas en geometrized modelos de jet-espacio.

Desde una perspectiva de la física, dada la importancia de la formulación de Lagrange de las cosas. La cuestión se reduce a cómo construir un invariante de Lagrange (o quizás casi invariable hasta cierto término que se desvanece en el límite...). Así que, ¿cómo podemos construir tales cosas?

Tenemos que extraer un escalar de alguna manera.

Para el grupo con valores de objetos que necesitamos algún rastro para quitar la matriz y obtener un número.

Para cada uno contravariante índice necesitamos un covariante índice con el que contrato. En mi opinión, coordinar la versión gratuita de un vector es simplemente un objeto matemático que los paquetes de la necesaria transformación de la ley. Es totalmente equivalente a trabajar con clases de equivalencia de vectores si la equivalencia es juzgado por la transformación de la ley. De matemáticas de la perspectiva, es mucho más fácil pensar en términos de las bases y coordenadas. Pero, cuando pienso acerca de la construcción de un Lagrangiano debo admitir que el índice del componente de enfoque tiene un cierto computacional de la belleza. Por otra parte, algunos de los coordinada de los objetos tienen un montón de exterior álgebra oculto. Por ejemplo, si he entendido bien, las fórmulas para las derivadas de la doble para el tensor de Faraday en Griffiths en realidad son las coordenadas de fórmulas para la coderivative de el doble de la de Faraday.

Por supuesto, también tenemos spinor índices. Podemos contrato en contra de diferentes tipos y obtener nuevos valores escalares de esta manera.

Creo que la pregunta real es cómo construir invariantes.