¿Qué es exactamente un integrante del núcleo?

Question

No estoy seguro de si he visto integral se transforma en el camino correcto, pero dado una transformación como la transformada de Fourier es en realidad una transformación de cambio de base de la derecha ?

$$ F(y) = \int K(x,y) f(x) \text{d}x $$ donde $K(x,y) = \text{e}^{-ixy}$ para el caso de la transformada de Fourier. Las funciones de $F(y)$ $f(x)$ puede ser visto como $\left<y|F\right>$ $\left<x|f\right>$ respectivamente. En tal caso la integral anterior ecuación puede escribirse como -

$$ \left< y|F \right> = \left<y|\mathbb{\hat I}|F\right> = \sum_x \left<y |x\right> \left<x |f\right> $$

Así es $\left<y |x\right>$ una forma de mirar a la integral del núcleo para todos los casos ? Si no, el deseo de entender cómo se puede, precisamente, mirar integral de los núcleos.

EDIT 1: También me gustaría saber que se transforma, como Laplace, Mellin, etc. también ser tratados de esa manera como la Transformación de la matriz, también, en cuyo caso no podría ser de matriz unitaria en todos los casos, pero en lugar de simplemente un mapa de un producto interior espacio a otro.

Answer 1

Intuitivamente, $K(x,y)$ es un "continuo" de la matriz $K$ que actúa sobre un "continuo" de la fila del vector vector de $f$: $$ \sum_{x}f(x)K(x,y) = \int f(x)K(x,y)dx $$ La asociada a la forma cuadrática sería $$ \sum_{x}f(x)K(x,y)g(y)^{\estrella} = \int\int K(x,y)f(x)\overline{g(y)}dxdy $$ Este sería selfadjoint si $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$, de manera análoga a un Hermitian de la matriz, y daría lugar a un observable. Un tipo de condición que permite que todo funcione muy bien es la de Hilbert-Schmidt condición: $$ M^{2}= \iint |K(x,y)|^{2}dxdy < \infty. $$ Que puede ser un poco restrictivo por lo que estás haciendo. No estoy seguro, pero es muy agradable desde un punto Matemático-de-vista porque permite definir claramente delimitado lineal operador $K : L^{2}(\mathbb{R})\rightarrow L^{2}(\mathbb{R})$: $$ Kf = \int K(x,y)f(x)dx. $$ Esto se desprende de Cauchy-Schwarz: $$ |Kf(y)|^{2} \le \int |K(x,y)|^{2}dx\int |f(x)|^{2}dx \\ \int |Kf(y)|^{2}dy \le \int\int |K(x,y)|^{2}dxdy\int|f(x)|^{2}dx \\ \|Kf\|^{2} \le \int\int|K(x,y)|^{2}dxdy \|f\|^{2} \\ \|Kf\| \le \left(\int\int|K(x,y)|^{2}dxdy\right)^{1/2}\|f\| \\ \|Kf\| \le M\|f\|. $$ Aquí $M$ es la de Hilbert-Schmidt constante definida anteriormente. Esto se describe cómo Hilbert comenzó originalmente en la generalización de las matrices. Finalmente, von Neumann que el operador de la teoría reemplazado estas ideas debido a que (1) las Matrices no pueden distinguir entre los diferentes operadores lineales y (2) lineal operadores autorizados más general de los objetos que se adapta mejor para Cuántica.