además-teorema de polinomios

Question

Supongamos que una función f(u) de forma idéntica satisface una ecuación de la forma G{f(u+v),f(u),f(v)}=0 para todo u y v y u+v en su dominio. Aquí G(Z,X,Y) no es un polinomio de fuga en las tres variables con coeficientes constantes. Entonces se dice que f admite un ALGEBRAICAS TEOREMA de ADICIÓN. SI f(u) cos(u), entonces

$G(Z,X,Y)=Z^2-2XYZ+X^2+Y^2-1,$

mientras que, si f(u) es la p de Weierstrass-función con los invariantes g_2 y g_3, entonces

$G(Z,X,Y)=16(X+Y+Z)^2(X-Y)^2 -8(X+Y+Z){4(X^3+Y^3)-g_2(X+Y)-2g_3} +4(X^2+4XY+4Y^2-g_2)^2$

Aquí está la pregunta: Caracterizar a los polinomios G(Z,X,Y) en los que se expresa una expresión algebraica, además teorema.

Answer 1

Los ejemplos que se muestran en David Speyer la respuesta de todos ellos. Esto es equivalente a decir que todos en una dimensión algebraica de los grupos son isomorfo al grupo aditivo, multiplicativo grupo o de una curva elíptica. Una prueba en el lenguaje de la "algebraica, además de teoremas" se encuentra en el libro de H. Hancock, Conferencias sobre la teoría de funciones elípticas, Ch. XXI.

http://books.google.com/books?id=GDYNAAAAYAAJ&printsec=frontcover&dq=Hancock+elliptic+functions&cd=1#v=onepage&q=&f=false

Answer 2

Aquí es muy básico comentario nadie lo ha hecho aún: Si $f(u)$ es una función racional de $u$, existe un polinomio distinto de cero $G$ tal que $G(f(u), f(v), f(u+v))=0$. Eso es debido a que $\mathbb{C}(u, v, u+v)$ tiene trascendencia grado $2$$\mathbb{C}$.

El mismo argumento se aplica si $f$ es una función racional de $e^u$ o si $f$ es una función racional de $\wp(u)$ $\wp'(u)$ donde $\wp$ es el Weierstrauss $\wp$-función.

Podemos demostrar que cada ejemplo es de una de estas formas?

Answer 3

Si X' significa que la derivada con respecto a u y Y' que wrsp y, etc., a continuación, una condición es: Eliminación de Z entre G=0 y $X'\frac{\partial G}{\partial Y}=Y'\frac{\partial G}{\partial X}$ conduce a una única ecuación entre X y X' para todos los valores de y y y' (ver Forsyth, página 357) – Marca B Villarino 0 secs ago

Answer 4

Se trata de un famoso teorema de Weierstrass que la única meromorphic funciones de la admisión de una expresión algebraica, además teorema son funciones racionales, o las funciones racionales de la función exponencial, o elíptica funciones. Lo que NO ha sido respondida es: dado un polinomio G(Z,X,Y), en las tres variables X,Y,Z, es una adición-teorema del polinomio? Que las características formales de G que la caracterizan como tal un polinomio? Hasta donde yo sé, esta pregunta nunca ha sido investigado.