Encontrar el núcleo de un epimorphism en $S_3$?

Question

Deje $\Lambda$ denotar el grupo con la presentación de $\langle a,b \mid abab^{-1}a^{-1}b^{-1}\rangle$. Definimos la siguiente epimorphism de $\Lambda$ a $S_3$:

$\theta: \Lambda(a,b) \rightarrow S_3$ $a \mapsto (12)$ a y $b \mapsto (23)$. We have $(12)(23)(23)^{-1}(12)^{-1}(23)^{-1}=e$ lo que indica que nuestro homomorphism factores mediante el cociente modulo normal subgrupo $H$ $F$ generado por $abab^{-1}a^{-1}b^{-1}$ y, por definición, $\Lambda=F/H$. Encontrar un explícito, finito de presentación para el núcleo, $\kappa$, de la epimorphism

Sé el núcleo de $\theta$ es el conjunto de todos los elementos de a $\Lambda$ que se asignan a $e\in S_3$ y es un subgrupo normal de $\Lambda$. Soy un poco nuevo para encontrar los núcleos, así que no estoy seguro de cómo proceder. Lo que es una buena manera de encontrar el núcleo de este epimorphism?

Answer 1

Existe un algoritmo conocido como el Reidemeister-Schreier algoritmo para calcular las presentaciones de los subgrupos de finitely presentan grupos. No tengo tiempo para explicarlo ahora mismo, y en cualquier caso, usted podría hacer mejor para google - hay un montón de descripciones en línea.

Ejemplos como este, donde el índice del subgrupo es pequeño, se puede hacer fácilmente con la mano. Para los subgrupos de mayor índice, usted puede demandar a la BRECHA o Magma. Yo era perezoso y hizo su ejemplo por computadora y encontró la presentación del kernel:

$$\langle x,y,z \mid y^{-1}x^{-1}yzxz^{-1}, y^{-1}zxyx^{-1}z^{-1} \rangle,$$

donde $x=a^2$, $y=b^2$, y $z=ab^2a^{-1}$.