El libro Característico de las Clases (Esto puede estar detrás de un paywall) por Milnor Y Stasheff respuestas a algunas de sus preguntas; en particular, demostrar un teorema acerca de "continuo functors": cualquier functor en la categoría de espacios vectoriales que es continua en el espacio de isomorphisms entre dos espacios vectoriales da un functor en la categoría de vector de paquetes en algunos topológica del espacio.
Una de las razones de esta categoría no se habla muy a menudo es que no se que agradable para exactamente las razones por las que usted menciona. Como Andreas Tapa de los puntos anteriormente, los núcleos y los cocientes no siempre existen, y por lo tanto, álgebra homológica no siempre funciona. El problema es que usted puede tener algunos de los morfismos de vector de paquetes cuyo rango de cambios en un submanifold de menor dimensión; el cociente o núcleo de un morfismos no ser un vector paquete, ya que la dimensión no es localmente constante, por lo que el local de la trivialidad condición es violado. (Algunos ejemplos aquí).
En lugar de eso, uno puede trabajar en la categoría de "coherente gavillas" - estas fueron inventados a ser una categoría que contiene la categoría de vector de paquetes en un espacio, pero incluyendo la falta de kernels/cocientes. Esto es común en la geometría algebraica y campos relacionados; la idea es cambiar su local de la imagen de ser un poco de un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ a de ser un finitely módulo generado sobre el anillo de las funciones lisas en el abierto de conjuntos. La principal diferencia es que este permite cosas como "torsión" - tal vez usted tiene un elemento en su módulo local que es asesinado por el ideal del anillo de funciones consta de las funciones que se desvanecen en un submanifold de dimensión uno; este elemento puede ser considerado como compatible con el submanifold. De esta manera, si la dimensión de un kernel sube cerca de un punto, puede modelar este comportamiento con tales elementos.
Por desgracia, coherente con poleas de no darle de inmediato como agradable de una imagen geométrica como vector de paquetes, y son fundamentalmente algebraica de los objetos. El álgebra es más difícil, y [a mi conocimiento - por favor alguien me corrija si me equivoco], las cosas no funcionan tan bien sobre el real colectores - usted necesita el complejo colectores, donde todo es básicamente algebraicas ya.
