Sobre la definición estocástica de $e$

Question

He leído en Wikipedia que se puede dar una representación estocástica de $e$ :

Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de $e$ existen técnicas estocásticas para estimar $e$ . Uno de estos enfoques comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes $X_1, X_2,\dots$ extraído de la distribución uniforme en $[0, 1]$ . Sea $V$ sea el menor número $n$ tal que la suma de los primeros $n$ muestras supera $1$ : $$V = \min \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \}.$$ Entonces el valor esperado de $V$ es $e$ : $\mathbb{E}(V) = e$ .

Me preguntaba cómo demostrar (analíticamente) que $\mathbb{E}(V) = e$ . He mirado las referencias pero parece que sólo tratan aspectos numéricos.

Answer 1

Tenemos: $$\mathbb{E}[V]=\sum_{m=0}^{+\infty}\mathbb{P}[V> m]\tag{1}$$ y: $$ \mathbb{P}[V> m] = \mathbb{P}[X_1+\ldots+X_m\leq 1]\triangleq A_m.\tag{2} $$ El pdf de $S_m=X_1+\ldots+X_m$ puede calcularse mediante convolución múltiple 1 en el intervalo $[0,1]$ viene dado por $\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}$ Por lo tanto $A_m=\frac{1}{m!}$ y: $$ \mathbb{E}[V]=\sum_{m\geq 0}\frac{1}{m!}=e $$ como quería.

1) Como enfoque alternativo, observe que: $$\mathbb{P}[X_1+\ldots+X_m\leq 1]=\mu\left(\left\{(x_1,\ldots,x_m)\in[0,1]^m:x_1+\ldots+x_m\leq 1\right\}\right)=\frac{1}{m!}.$$