Yo estaba jugando con los números primos y una pregunta vino a mi mente:
Deje $S(n)$ denotar la suma de las raíces cuadradas de los números primos de $2$ $n$ésimo número primo.
Hay una infinidad de números de $n$, de modo que $\left\lfloor S(n) \right\rfloor$ es primo de la misma? (Donde $\left\lfloor X \right\rfloor$ denota la función del suelo.)
Por favor, dígame si usted tenía alguna idea acerca de ello. En realidad yo no podía hacer nada. xD
Respuesta
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Si este problema es solucionable, se requeriría de herramientas avanzadas de la teoría analítica de números. Como un heurístico: $S(n)$ es asintóticamente $\sum_{k=1}^n \sqrt{k\log k} \sim \frac23n^{3/2}\sqrt{\log n}$; y yo no veo ninguna razón por la $\lfloor S(n)\rfloor$ es más o menos propensos a ser, incluso, un múltiplo de $3$ o, más en general divisible por cualquier prima fija. (Esto de la independencia es confirmada por experimentos numéricos.) Así, la predicción sería que $\lfloor S(n)\rfloor$ es igual de probable que se prime como un entero aleatorio del mismo tamaño, que es de alrededor de $1/\log S(n) \sim 2/(3\log n)$. En otras palabras, no se podría predecir que el número de $n\le x$ que $\lfloor S(n)\rfloor$ es primo debe ser asintóticamente $\frac23x/\log x$. (Experimentos numéricos también hacer que esta aparezca más probable que un número constante de veces $x/\log^2x$.)
