Encontrar el orden de la automorphism grupo de la abelian grupo de orden 8.

Question

Así que me da un abelian grupo de orden $8$ tal que para todos los que no son elementos de identidad $x^2 = e$ (todos los elementos de orden dos). Así que yo sé que la respuesta va a ser $168$, pero tengo que probar esta.

Así que ahora tengo que no son exactamente $7$ subgrupos de orden $4$, y cada uno ha $6$ automorfismos. Eso me da un total de $42$ automorfismos. Ahora no debe ser una justificación para multiplicar este número por $4$ para obtener el $168$. Pero me parece que no puede encontrar una justificación para ello.

Answer 1

Si usted está familiarizado con los campos finitos, es más fácil ver esta consultando $G=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ como un espacio vectorial de dimensión$3$$\mathbb{F}_2$. De esta manera, vemos que la automorphism grupo de $G$$GL_3(\mathbb{F}_2)$, el grupo de $3 \times 3$ invertible matrices de más de $\mathbb{F}_2$. Contando las maneras de hacer tres vectores linealmente independientes, podemos ver que $$|\operatorname{Aut}(G)|=(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=168.$$ Si usted no sabe lo que es un campo finito es, esto no es tan fácil. Finito campos son fáciles de comprender si se han de primer orden, a pesar de que acaba de agregar y multiplicar los números de $0,\ldots, p-1$ modulo $p$. (Como resulta, finito campos de tener siempre el primer poder de la orden, pero las cosas se complicaron más cuando la fuerza es mayor que $1$.)