Las propiedades del lenguaje interno de la categoría de las poleas.

Question

Considere un caso simple de poleas en algún espacio topológico $X$, $\operatorname{Sh}(X)$ (recordemos que un colador en $U$ está cubriendo iff su $\operatorname{sup}$$U$). Todos estos son Grothendieck toposes pero es evidente que no todos ellos son equivalentes.

Hay una visión general de cuáles son las propiedades de $\operatorname{Sh}(X)$ son inducidos por las propiedades de las $X$? Las propiedades que me interesa son los principios lógicos que tiene en la lógica interna. Por supuesto, las propiedades deben ser necesariamente las propiedades de la configuración regional de abre $\mathcal{O}(X)$.

El elefante (Johnstone) tiene una lista de algunas de las propiedades inducida por las propiedades de las $\mathcal{O}(X)$, pero la mayoría de estos son acerca de la existencia de geométrica morfismos, que, por supuesto, en algunos casos permiten definir algunas de las modalidades en el lenguaje interno, pero también me gustaría saber si hay algunas fórmulas ordinarias de orden superior de la lógica, que son válidos.

Por ejemplo, supongamos $X$ es compacto. Hay un interesante principio lógico que sostiene en $\operatorname{Sh}(X)$, pero no se sostiene en gavillas sobre los no-espacios compactos? Tal vez algún tipo de elección?

Answer 1

Un espacio topológico (o regional) $X$ es local (es decir, en cualquier cubierta de $X$ por la apertura de los subconjuntos de, al menos, uno de esos subconjunto es igual al $X$) si el lenguaje interno de $\mathrm{Sh}(X)$ cumple la siguiente disyunción de la propiedad: Si $(\phi_i)_{i \in I}$ es arbitrario de la familia de las fórmulas y $\mathrm{Sh}(X) \models \bigvee_{i \in I} \phi_i$, entonces existe un índice $i \in I$ tal que $\mathrm{Sh}(X) \models \phi_i$.

También, si $X$ es local, el lenguaje interno cumpla con los siguientes existencia de la propiedad: Si $\mathrm{Sh}(X) \models \exists x : \mathcal{F}. \phi(x)$, entonces no existe realmente una sección global $x \in \Gamma(X,\mathcal{F})$ tal que $\mathrm{Sh}(X) \models \phi(x)$.

Un espacio topológico $X$ es compacto si el lenguaje interno de $\mathrm{Sh}(X)$ cumple la siguiente propiedad: Si $I$ es dirigido conjunto, $(\phi_i)_{i \in I}$ es una monotonía de la familia de las fórmulas (significado $\mathrm{Sh}(X) \models (\phi_i \Rightarrow \phi_j)$$i \preceq j$) y $\mathrm{Sh}(X) \models \bigvee_{i \in I} \phi_i$, entonces existe un índice $i \in I$ tal que $\mathrm{Sh}(X) \models \phi_i$. Esto se desprende directamente de la orden de la teoría de la caracterización de compacidad (un espacio de $X$ ser compacto iff para cualquier monotonía de la familia $(U_i)_{i \in I}$ de abrir conjuntos con $X = \bigcup_i U_i$ existe $i \in I$ tal que $X = U_i$).

Como un ejemplo, usted puede usar el último caracterización para dar una interna de la prueba del lema 01BB en las Pilas de Proyecto (diciendo que si un filtrado colimit $\mathcal{F} = \mathrm{colim}_i \mathcal{F}_i$ $\mathcal{O}_X$- módulos es finito tipo en un cuasi-sistema compacto $X$, entonces uno de los mapas de $\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}$ es un epimorphism) al reducir a los siguientes familiarizado hecho constructivo de álgebra lineal: Si un filtrado colimit $A = \mathrm{colim}_i A_i$ es finitely generado, uno de los mapas de $A_i \to A$ es surjective.

Por desgracia, los principios lógicos de arriba se meta propiedades del lenguaje interno, así que no estoy seguro de que esto responda a su pregunta.

Apéndice: Una característica intrínseca de la caracterización de la compacidad no es posible, es decir, no puede existir una fórmula $\phi$ de manera tal que el lenguaje interno de la gavilla topos de un espacio topológico satisface $\phi$ si el espacio es compacto: Si un espacio topológico $X$ pueden ser cubiertos por los subespacios compactos $U_i$, el fórmula $\phi$ estaría satisfecho en cada una de las $U_i$ y, por lo tanto, por el local el carácter del lenguaje interno, en $X$. Si $X$ sí no es compacta, esta es una contradicción.