Polinomio con una infinidad de ceros.

Question

Puede un polinomio en $ \mathbb{C}[x,y] $ tiene una infinidad de ceros? Esto claramente no es cierto en el caso variable, pero lo que sucede en dos o más variables?

Answer 1

Ejemplos

Los polinomios $ XY $ $ X + Y $ tiene una infinidad de ceros en $ \mathbb{C}^{2} $.

El cero-set de $ XY $$ (\{ 0 \} \times \mathbb{C}) \cup (\mathbb{C} \times \{ 0 \}) $, mientras que el cero de $ X + Y $$ \{ (x,-x) ~|~ x \in \mathbb{C} \} $. Ambos conjuntos están claramente incontables.

---

Teoría General

Supongamos que $ p(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y] $ tiene un no-desaparición de $ X $grado $ n $. Así, podemos encontrar polinomios $ {q_{0}}(Y),\ldots,{q_{n}}(Y) \in \mathbb{C}[Y] $ donde $ {q_{n}}(Y) \neq 0 $, de tal manera que $$ p(X,Y) = \sum_{i=0}^{n} {q_{i}}(Y) \cdot X^{i}. $$ Deje $ \Delta $ el valor del cero-set de $ {q_{n}}(Y) $$ \mathbb{C} $, y para cada una de las $ \lambda \in \mathbb{C} $, vamos a $ \mathcal{Z}_{\lambda} $ el valor del cero-set de $ p(X,\lambda) \in \mathbb{C}[X] $$ \mathbb{C} $. Se desprende de lo $ {q_{n}}(Y) \neq 0 $ que $ \Delta $ es finita, lo que implica que $ \mathbb{C} \setminus \Delta $ es incontable.

Para cada una de las $ \lambda \in \mathbb{C} \setminus \Delta $, el polinomio $ p(X,\lambda) \in \mathbb{C}[X] $ no desapareciendo $ X $grado $ n $ porque, precisamente,$ {q_{n}}(\lambda) \neq 0 $. Por lo tanto, por el Teorema Fundamental del Álgebra, $ \mathcal{Z}_{\lambda} \neq \varnothing $, lo cual implica que $ \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \mathbb{C} \setminus \Delta} (\mathcal{Z}_{\lambda} \times \{ \lambda \}) $ is an uncountable set of zeros of $ p(X,Y) $ in $ \mathbb{C}^{2} $.

Del mismo modo, si $ p(X,Y) $ tiene un no-desaparición de $ Y $-grado, a continuación, $ p(X,Y) $ tiene una cantidad no numerable de ceros en $ \mathbb{C}^{2} $.

---

Conclusión: Si $ p(X,Y) \in \mathbb{C}[X,Y] $ no es de la forma $ p(X,Y) = c $ donde$ c \in \mathbb{C}^{\times} $, $ p(X,Y) $ tiene una cantidad no numerable de ceros en $ \mathbb{C}^{2} $.

En general, para $ n \in \mathbb{N}_{\geq 2} $ si $ p(X_{1},\ldots,X_{n}) \in \mathbb{C}[X_{1},\ldots,X_{n}] $ no es de la forma $ p(X_{1},\ldots,X_{n}) = c $ donde$ c \in \mathbb{C}^{\times} $, $ p(X_{1},\ldots,X_{n}) $ tiene una cantidad no numerable de ceros en $ \mathbb{C}^{n} $.

Answer 2

Cualquier polinomio no constante $p(x,y)\in\mathbb{C}[x,y]$ siempre tienen un número infinito de ceros.

Si el polinomio es sólo una función de $x$, se puede elegir cualquier valor de$y$, y encontrar una solución (ya $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado).

Si el polinomio utiliza ambas variables, vamos a $d$ ser el mayor poder de la $x$ que aparecen en el polinomio. Escrito $p(x,y)=q_d(y)x^d+q_{d-1}(y)x^{d-1}+\cdots+q_0(y)$, Vamos a $\hat y$ ser cualquier número complejo distinto de la un número finito de raíces de $q_d$. A continuación, $p(x,\hat y)$ es un polinomio en a $\mathbb{C}[x]$, que tiene una raíz.

EDIT: me olvidé de mencionar que este argumento se generaliza para cualquier número de variables.

Answer 3

Cualquier polinomio no constante en una variable tiene al menos una raíz en $\mathbb C$.

Si $P(x,y)\in\mathbb C[x,y]$ es no constante y $a$ es una raíz del polinomio $P(x,0)$ $(a,0)$ es una raíz de $P(x,y)$...

Considerar los polinomios $P(x,0),P(x,1),P(x,2),P(x,3),\ldots$

Answer 4

La función de $x$ tiene ceros $\{(0,y):y\in \mathbb C\}$.

Answer 5

Para la variedad, sólo el cero del polinomio tiene una infinidad de ceros para $y$.

Es decir, si existen infinitos valores de $b$ tal que $f(x,b) = 0$, $f$ es el polinomio cero.

Pero esta es una cuestión muy diferente de preguntar acerca de los ceros en $x$ e $y$ juntos: que es, pais $(a,b)$ tal que $f(a,b)=0$.