¿Qué secuencias convergen en una topología cofinita y cuál es su límite?

Question

Este es un ejercicio de una lectura anterior de cálculo 1 en mi universidad:

Dejemos que $X$ sea un espacio que contiene infinitos elementos. En la topología cofinita, un conjunto $\Omega$ está abierto si $\Omega = \emptyset$ o $\Omega^c$ sólo contiene un número finito de elementos. ¿Qué secuencias convergen y cuál es su límite?

Como no tenía ni idea de cómo abordar este ejercicio, busqué la solución y me pareció bastante frustrante que ni siquiera entendiera la solución. El autor de la solución afirma que para cualquier secuencia $(a_n)$ en $X$ Hay tres casos posibles:

a) No existe ningún valor que la secuencia tome infinitas veces.

b) Existe exactamente un valor que la secuencia toma infinitas veces.

c) Existen dos o más valores que la secuencia toma infinitas veces.

En el primer caso, el autor afirma además que la secuencia converge a cualquier valor $a \in X$ , en el segundo caso, la secuencia sólo converge al valor tomado infinitas veces y en el último caso, la secuencia diverge. Obviamente, el escritor omitió una prueba o incluso un razonamiento que podría ayudar al lector a entender por qué esto es correcto.

¿Puede alguien ayudarme explicando por qué esto es cierto? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Caso a: Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia en $X$ tal que no existe ningún valor que la secuencia $(a_n)$ toma infinitas veces. Sea $x \in X$ y que $U$ sea un conjunto abierto alrededor de $x$ . Entonces $U^c$ es finito. Como $(a_n)$ no toma ningún valor infinitas veces, después de algún índice N, $(a_n) \in U$ para todos $n \geq N$ . Por lo tanto, $(a_n)$ converge a cualquier $x\in X$ . (Esto también demuestra que $X$ no es Hausdorff).

Caso b: Dejemos que $(b_n)$ sea una secuencia en $X$ tal que existe exactamente un valor $b \in X$ que la secuencia $(b_n)$ toma infinitas veces. Sea $U$ sea un conjunto abierto alrededor de $b$ . Entonces $U^c$ es finito. Como $(b_n)$ toma como máximo un número finito de valores en $U^c$ , $(b_n) \rightarrow b$ . Por otro lado, si $c \neq b$ , $X \setminus \{b\}$ es un conjunto abierto alrededor de $c$ que falla infinitamente $b_n$ para que la secuencia no pueda converger a $c$ .

Caso c: Dejemos que $(c_n)$ sea una secuencia en $X$ tal que existen dos valores $c_1$ y $c_2$ que la secuencia $(c_n)$ toma infinitas veces. Sea $U_1$ y $U_2$ sean conjuntos abiertos alrededor de $c_1$ y $c_2$ respectivamente. Entonces $U_1^c$ y $U_2^c$ son finitos por definición. Supongamos lo contrario, $c_n \rightarrow c$ para algunos $c \in X$ . Sea $V$ ser un barrio abierto alrededor de $c$ . Entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $(c_n) \in V$ para todos $n \geq N.$ Pero esto contradice que $c_1$ y $c_2$ ocurre en la secuencia infinitas veces.

Answer 2

Diga $X$ es un conjunto dotado de la topología cofinita $\mathcal T$ . Diga $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia en $X$ . Afirmamos que $\{x_n\}$ converge en $(X,\mathcal T)$ si y sólo si hay como máximo un valor en $\{x_n\}$ que ocurre infinitas veces.

Para el $(\Longrightarrow)$ dirección, supongamos que $\{x_n\}$ converge. Supongamos que $a$ y $b$ son valores distintos en $\{x_n\}$ que se producen infinitas veces. Obsérvese que $X\setminus\{b\}$ está abierto y contiene $a$ . Pero hay infinitas $x_n\notin X\setminus\{b\}$ y así $\{x_n\}$ no puede converger a $a$ . Análogamente, vemos que $\{x_n\}$ no puede converger a $b$ . Pero asumimos que $x_n\to c$ para algunos $c\in X$ . Teniendo en cuenta $X\setminus\{a,b\}$ vemos por un argumento análogo al de $a$ y $b$ que $\{x_n\}$ no puede converger a $c$ . Por lo tanto, si $\{x_n\}$ converge, hay a lo sumo un término infinitamente repetido de la secuencia.

Para el $(\Longleftarrow)$ dirección, supongamos que hay a lo sumo un término que se repite infinitamente en la secuencia. Hay dos casos:

1. No hay términos que se repitan infinitamente. Afirmamos que $\{x_n\}$ converge a cada $x\in X$ . De hecho, si $N(x)$ es una vecindad de $x$ entonces $X\setminus N(x)$ es finito. Como no hay términos infinitos, debe haber algún $m\in\mathbb N$ tal que $x_n\in N(x)$ siempre que $n>m$ .
2. Hay exactamente un término que se repite infinitamente. Llamemos a este valor $a$ . Afirmamos que $\{x_n\}$ converge a $a$ y sólo a $a$ . Si $N(a)$ es cualquier vecindad de $a$ entonces $X\setminus N(a)$ es finito. Como ningún otro término se repite infinitamente, hay $m\in\mathbb N$ tal que $m>n$ implica $x_n\in N(a)$ . Así que $x_n\to a$ . Supongamos ahora que $x_n\to a'$ para $a\neq a'$ . Entonces $X\setminus\{a\}$ está abierto y contiene $a'$ pero hay infinitas $x_n\notin X\setminus\{a\}$ . Así que $\{x_n\}$ no puede converger a $a'$ .

Answer 3

Para el caso a), queremos demostrar que para cualquier $a$ y todo conjunto abierto que contenga $a$ que todos los $a_n$ están en el conjunto abierto siempre que $n$ es mayor que algún $M$ que podemos elegir. Como al conjunto abierto sólo le falta un número finito de elementos, podemos ponerlos en orden $\{b_1, b_2, \ldots, b_p\}$ . Luego, en la serie $ a_n$ , ya que $b_1$ no aparece infinitas veces, hay una última ocurrencia, llámese $b_{1f}$ . Del mismo modo, hay una última ocurrencia de $b_2$ Llámalo $b_{2f}$ . Entonces, si $n \gt M=\max(b_{1f}, b_{2f},\ldots b_{pf})$ , $a_n$ estará en nuestro conjunto abierto. Así que la secuencia converge a $a$

Los argumentos para b) y c) son similares.