Principio de encasillamiento para un triángulo

Question

Consideremos un triángulo equilátero de área total 1. Supongamos que en su interior se eligen 7 puntos. Demostrar que algunos 3 puntos forman un triángulo de área $\leq\frac 14$ .

Answer 1

Elija un punto $p$ y trazar una línea desde $p$ a cada uno de los otros seis puntos.

Podemos ordenar los seis puntos $a,b,c,d,e,f$ en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto $p$ y dibujar líneas desde $a$ a $b$ de $b$ a $c$ de $c$ a $d$ de $d$ a $e$ y de $e$ a $f$ .

Esto da cinco triángulos disjuntos que encajan dentro del triángulo de área $1$ .

Por lo tanto, el área total de los cinco triángulos es menor o igual que uno y al menos un triángulo tiene área menor o igual que $\frac 15$ .

Answer 2

Divide el triángulo en 4 áreas de igual tamaño. Como en el diagrama anterior sólo hay 6 vértices que comparten los 4 triángulos, de modo que el área de cada grupo de 3 vértices es $\frac{1}{4}$ con cualquier vértice adicional unido caerá en el centro de cualquier grupo de 3 vértices. Por lo tanto, si se eligen 7 puntos, siempre podemos ver que el área de 3 de ellos es menor que $\frac{1}{4}$ .

Answer 3

He visto respuestas con 9 puntos (en el comentario del enlace anterior) y con 5 puntos (más arriba).

Sin embargo, no con 7 puntos. Véase a continuación:

Líneas de trazado desde los puntos medios de los 3 lados entre sí

Ahora tenemos 6 puntos (3 vértices y 3 puntos medios)

tenemos 4 triángulos de igual área 1/4. (triángulo equilátero)

Añadir el 7º punto creará un triángulo de área inferior a 1/4.

QED