Es $\int |x\rangle \langle x|dx$ ¿Matemáticas?

Question

Me estoy matriculando en una clase de Mecánica Cuántica. Como todos sabemos, la formulación de las ideas básicas de la MQ se basa en gran medida en la noción de espacio de Hilbert. Decido tomar el curso porque podría ayudarme a entender la motivación que subyace a la teoría de los operadores no limitados.

Sin embargo, las cosas empezaron a confundirse cuando el profesor introdujo el producto interno de los estados cuánticos. Supongamos que hay dos vectores $|\phi \rangle$ , $|\psi \rangle$ representado por dos vectores columna $v$ , $u$ respectivamente, luego definió su producto interno como $$ \langle \psi |\phi \rangle = \bar u^t v $$ lo que tiene mucho sentido para mí. Luego pasó a explicar el caso continuo introduciendo primero la cosa llamada "relación de completitud" $$ 1=\sum |i\rangle\langle i| $$ donde $|i\rangle$ son los vectores propios normalizados de un Operador Hermitiano. Yo, como único matemático de la clase, reconozco el término del lado derecho como el proyector en el subespacio abarcado por la secuencia ortonormal $(|i\rangle)_{i=1}^\infty$ que es igual a la identidad ya que la secuencia es completa.

Luego pasó a encontrar una manera de calcular $\langle \psi |\phi \rangle$ en el caso de que $|\phi \rangle$ , $|\psi \rangle\in L^2[-a,a]$ El llamado pozo cuadrado infinito. Dijo que como el estado es continuo (sea lo que sea que eso signifique) la suma anterior se aproxima a una integración, por lo que tenemos $$ 1=\int |x\rangle \langle x|dx $$ en su lugar. Entonces demostró $$\begin{align} \langle \psi|\phi \rangle &= \langle \psi|1|\phi \rangle \\ &= \langle \psi|(\int |x\rangle \langle x|dx)|\phi \rangle \\ &= \int \langle \psi|x\rangle \langle x|\phi \rangle dx \\ &= \int \overline{\langle x|\psi\rangle} \langle x|\phi \rangle dx \\ &= \int \bar\psi(x)\phi(x) dx \end{align}$$ Lo cual tiene muy poco sentido para mí. Siempre había visto la relación como LA definición de producto interior en $L^2$ espacio, no algo que se pueda derivar. Cuando le hice preguntas sobre la derivación, intentó justificarla diciendo algo así como que la delta de Dirac es un elemento del espacio de Hilbert (la ironía) y que la familia de deltas de Dirac desplazadas constituye una base (en algún sentido vago) de $L^2[-a,a]$ .

Aun sabiendo que la afirmación de mi profesor tiene poco sentido en la teoría del espacio de Hilbert, lo cual no es atípico de un físico por cierto (Esto no pretende ser una acusación de ninguna manera, realmente lo respeto y es un buen físico. Sin embargo la palabra "físico" y "rigor" suelen ser mutuamente excluyentes), he aprendido sobre la existencia de Espacio de Hilbert manipulado y he oído que resuelve parcialmente algunos problemas fundacionales con el uso de la delta de Dirac en QM.

Estas son mis preguntas:
1.) Me pregunto si la notación $\int |x\rangle\langle x|dx$ ¿tiene un significado definido en el espacio de Hilbert amañado?
2.) ¿Podría alguien explicarme, por favor, si la derivación es sólida en CUALQUIER teoría matemática?

Hay que tener en cuenta que soy estudiante, así que agradecería mucho algunas respuestas no muy avanzadas :) Gracias de antemano.

Editar : ¿Qué hace $\langle x|\phi \rangle = \phi(x)$ significa de todos modos? Al principio creo que se parece al mapa de evaluación, pero ahora no estoy muy seguro.

Answer 1

Sí, esto tiene sentido en el contexto de los "espacios de Hilbert amañados", por ejemplo, algo así como lo que ocasionalmente se llama un triple de Gelfand $H^{+1}\subset L^2\subset H^{-1}$ de los espacios de Sobolev en un intervalo en $\mathbb R$ . De alguna manera, Dirac ya tenía una maravillosa intuición en este sentido antes de 1930. Además, la posibilidad de escribir "núcleos integrales" para todos los mapeos se sistematizó finalmente en el Teorema del Núcleo de L. Schwartz, y en los espacios nucleares de A. Grothendieck. Tal vez la forma más directa de precisar las cosas por completo sea la siguiente.

Dejemos que $L^2=L^2[a,b]$ sea el espacio habitual de las funciones cuadradas integrables, que sabemos que es también la terminación del espacio de las funciones de prueba sobre $[a,b]$ con respecto a la $L^2$ norma. Sea $H^1=H^1[a,b]$ sea la terminación de las funciones de prueba con respecto a la norma (Sobolev) $|f|^2_{H^1}=\langle f-f'',f\rangle$ . La inyección $j:H^{-1}\to L^2$ tiene un adjunto $j^*$ e identificamos $L^2$ con su propio dual (¡pero no los otros!), obteniendo $j^*:L^2\to H^{-1}$ donde $H^{-1}=(H^1)^*$ .

Delta de Dirac en un punto $x_o$ en $[a,b]$ es demostrable en $H^{-1}$ .

Como una pequeña parte de alguna versión del Teorema del Núcleo de Schwartz en este entorno, con alguna justificación integral vectorial, el cálculo que citas es exactamente la verificación de que el núcleo para el mapa de identidad es "delta de Dirac en la diagonal" en $[a,b]\times[a,b]$ .

(La notación bra-ket puede reescribirse en términos de tensores y productos tensoriales si se desea, para que parezca menos física).

Answer 2

Esto es lo que yo entiendo. Pero sé muy poco sobre QM, así que esta explicación puede ser incorrecta.

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Consideremos el operador de multiplicación $A$ definido en $L^2[-a, a]$ por

$$A\varphi(x) = x\varphi(x). $$

(En la mecánica cuántica, $A$ corresponde al operador de posición). Como este operador está acotado con el espectro $\sigma(A) = [-a, a]$ por el teorema espectral corresponde una medida con valor de proyección $E$ en $\sigma(A)$ tal que

$$ A = \int_{[-a, a]} \lambda \, dE_{\lambda}. $$

Esta medida admite la resolución de la identidad:

$$ 1 = \int_{[-a, a]} dE_{\lambda}. $$

Ahora, heurísticamente, el delta de Dirac $\delta_{\lambda}$ es una función propia de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda$ . Como sabemos que $E_{\lambda} = \mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]}(A)$ podemos pensar que $dE_{\lambda} \approx \mathbf{1}_{\{\lambda\}}(A)$ es una proyección al eigespacio correspondiente a $\lambda$ que debe ser atravesado por $\delta_{\lambda}$ . Por lo tanto, no es descabellado escribir descuidadamente

$$ dE_{\lambda} \approx | \delta_{\lambda} \rangle\langle \delta_{\lambda} | \, d\lambda, $$

donde $d\lambda$ proviene de la normalización.