Uno de los desafortunados cosas acerca de las matemáticas en la escuela es que los profesores son a menudo con la tarea de llegar a los estudiantes a entender una cosa en particular. Por lo que van a hacer todo lo posible para enseñar que una cosa para que los estudiantes puedan pasar la prueba, incluso si esto significa que los estudiantes pueden no entender realmente el concepto subyacente, lo que es más difícil para ellos aprender temas más avanzados. (En ese momento, se va a mudar a otro profesor...)
En este caso, el profesor tiene la tarea de llegar a comprender la adición y la sustracción en el álgebra. Esto puede ser difícil de entender, por lo que inventa, esta linda historia acerca de las cosas se vuelvan negativos cuando se mueven a través del signo de igual. Ok. Que va a trabajar para resolver cosas como $x+5 = 10$.
Pero, ¿qué acerca de ecuaciones como $6x = 18$? En este punto, usted tiene que multiplicar o dividir, donde la linda historia sobre el movimiento de material a través del signo de igual se cae en su cara y su profesor es una linda historia. Finalmente, todas estas lindas historias se acumulan para crear una profunda confusión, y después de años de estudiar álgebra, los estudiantes todavía no entender los conceptos subyacentes.
Voy a tratar de enderezar el camino. El álgebra es (generalmente) se trata de hacer dos cosas:
- El mantenimiento de la igualdad
- La solución para que un desconocido
Usted ya sabe acerca de la solución para una parte desconocida -- siempre estás tratando de resolver por $x$. Ese es el objetivo.
La primera parte es un poco complicado de entender. Normalmente tenemos dos o más expresiones (por ejemplo, $x+5$ y 10 $de$) que están conectados por un signo de igual. Esto significa que estas dos expresiones son iguales. Los números que representan la misma. Lo que hacemos entonces es manipular estas expresiones, mientras que el mantenimiento de la igualdad, para lograr nuestro objetivo: la resolución de la incógnita.
Así que cuando tenemos una declaración como $5x = 10+2x$, queremos manipular la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha, y mantener la igualdad en todo momento. Si nuestra manipulación es hábil, entonces tendremos, finalmente, acabar con solo $x$ en uno de los lados, y te han descubierto lo que es igual.
Así que vamos a tomar declaración como $a = b$. Fundamentalmente, el mantenimiento de la igualdad significa que lo que hacemos a $a$, usted debe hacer para $b$. Tiene sentido, ¿verdad? Si $a$ y $b$ son iguales, entonces si que añadir $5$ a $un$ y quiere seguir $a$ igual a $b$, también debe agregar $5$ a $b$. Si se multiplica $a$ por $10$, también debe multiplicar $b$ por $10$. Si usted cuadrado $a$, usted debe cuadrado $b$. De ahí en adelante.
Pero hay advertencias. ¿A qué nos referimos realmente cuando hablamos de igualdad en este contexto? Tome una ecuación $x^2 = 25$. Sea $x=5$ o $x=-5$ será una solución válida: tanto de los valores de $x$ le permitirá a la declaración de $x^2=25$ ser cierto. Así que cuando resolvemos $x^2=25$, no podemos simplemente tomar $\sqrt{25}=5$ y decir que hemos terminado. Podríamos haber hecho lo mismo a ambas expresiones, pero no hemos de mantener la igualdad.
O tomar declaración como $x=1$. Podemos cuadrado ambos lados y conseguir $x^2 = 1^2 = 1$. Ahora, $x^2 = 1$ tiene soluciones de $x=1$ y $x=-1$. De nuevo, hicimos lo mismo a ambos lados, pero no hemos de mantener la igualdad. Entonces, ¿qué significa para mantener la igualdad?
Empezamos con una declaración de que es cierto, como $x^2 = 25$. El desconocido en esa declaración, es de $x$. Hay un conjunto de soluciones (es decir, un montón de números) para $x$ que permitirá a los $x^2=25$ ser cierto. $5$ y $-5$, ambos están en ese conjunto. $6$ no es en ese set por $6^2 = 36$, y $36 \neq 25$.
En el $x=1, x^2=1$ ejemplo, no mantener la igualdad porque hemos cambiado el conjunto solución. Sólo hay un valor de $x$ que $x=1$ true, y eso es $1$. Pero hay dos valores de $x$ que $x^2=1$ true: esos son $1$ y $-1$. Vamos a llamar a aquellos que el potencial de la solución.
Así que tenemos que volver a nuestra ecuación original, la que conocemos para ser verdad, y comprobar los valores que nos dieron en el potencial de la solución. En este ejemplo, la ecuación fue de $x=1$. Así que empezamos el primer número de la potencial solución: $1$. Nos conectarlo para $x$. De 1 $=1$. Gran. Ahora tratamos el otro número: $-1$. Tapón de $x$. $-1 = 1$. Nope.
Entonces, para resumir, podemos mantener la igualdad entre dos expresiones, haciendo dos cosas:
- Haciendo las mismas cosas a ambas expresiones.
- Mirando hacia fuera para las operaciones que se puede cambiar el conjunto de soluciones de una ecuación (estos son los más comúnmente cuadrado/raíces cuadradas, es decir, exponenciación, o trigonométricas operaciones, como $\sin$, etc.). Cuando se trata de los tipos de operaciones, es una buena idea aprovechar el potencial de las soluciones y enchufe en la ecuación original para ver cuáles funcionan y cuáles no.
Yo le animamos a resolver estos problemas con la mentalidad de mantener la igualdad, en lugar de mediante el uso de las historias que su maestro puede contar. Más allá de lo que he dicho anteriormente, hay dos grandes razones para esto:
- Al pensar acerca de la igualdad, que va a pensar más sobre el subyacente de las matemáticas, en lugar de sólo acerca de cómo mover alrededor de los símbolos.
- Los problemas que encontrará en el Álgebra (y en la matemática en general) poco a poco será más difícil, por lo que para tener éxito, usted necesita para realmente entender las nociones subyacentes.
De todos modos, vamos a resolver el problema de $3x + 5 = 2x + 10$ con el tipo de mentalidad que he defendido. Para un problema sencillo como esto, puede ser una exageración, pero sin duda va a ser útil para pensar en esos términos cuando estés enfrentando problemas más difíciles.
$$3x+5 = 2x+10$$
Estas declaraciones son iguales. Reste $2x$ de cada expresión.
$$3x-2x + 5 = 2x - 2x + 10$$
Simplificar.
$$x + 5 = 10$$
Reste $5$ de cada expresión.
$$x + 5 - 5 = 10 -5$$
Simplificar.
$$x = 5$$
