Límite de potencia de la serie en el límite

Question

Posibles Duplicados:
Abel teorema del límite

Deje que la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ tiene radio de convergencia 1. Además, supongamos que el $\sum_{k=0}^\infty a_k = \infty$ . Es el caso de que $\lim_{x\to 1^-} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = \infty$ ?

Answer 1

Sí: Vamos a $A_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ que asumimos que se tiende a $\infty$$n \to \infty$. Una primera idea es el uso de sumación por partes:

$$\sum_{k=0}^Na_kx^k=A_Nx^N-\sum_{k=0}^{N-1}A_k(x^{k+1}-x^k)=A_Nx^N+(1-x)\sum_{k=0}^{N-1}A_kx^k$$

Nos muestran que $\sum A_k x^k$ tiene el mismo radio de convergencia:

$$ |A_k|^{1/k} \leq |k a_{k^\ast}|^{1/k} = k^{1/k} (|a_{k^\ast}|^{1/k^\ast})^{k^\ast/k} $$ donde $k^\ast(k) \leq k$ corresponde a $\max_{i=1,\ldots,k} |a_i|$. Si $k^\ast$ tiende a $\infty$$k \to \infty$,$\limsup |A_k|^{1/k} = \limsup |a_k|^{1/k} = 1$. Si $k^\ast$ se queda finito, entonces para $k$ gran vemos que $|A_k|^{1/k}$ tiende a $1$, y de cualquier forma el radio de convergencia de $\sum A_k x^k$ aún $1$. También tenga en cuenta $|A_N x^N| \leq (|A_N|^{1/N}|x|)^N \to 0$$N \to \infty$. Esto nos permite tomar el límite de la fórmula $$ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = (1-x)\sum_{k=0}^\infty A_k x^k $$

Ahora hacemos uso de $A_k \to \infty$. En primer lugar, vamos a $C > 0$ ser arbitraria y encontrar $m$ tal que $A_k > C$ todos los $k>m$. A continuación, dividimos la suma

$$ \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = (1-x) \sum_{k=0}^m A_k x^k + (1-x) \sum_{k=m+1}^\infty A_k x^k $$

Obligado por esto a continuación

$$ (1-x) C \sum_{k>m} x^k - |1-x|\left| \sum_{k=0}^m A_k x^k \right| $$

Como el segundo término es finito, como $x \to 1$, se desvanece. El primer término es, precisamente,$C x^{m+1}$, lo que tiende a $C$$x \to 1$.

Por lo tanto, $$ \lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \geq C $$ y como $C$ es arbitrario, el límite debe ser $\infty$.