El giro, ¿de dónde viene?

Question

Estudio física y estoy asistiendo a un curso sobre teoría cuántica de campos. Me resulta difícil establecer conexiones a partir de ahí con las antiguas teorías convencionales.

En la teoría cuántica de campos el espín se origina en la ecuación de Dirac en el caso de los fermiones.

No recuerdo de dónde viene en la mecánica cuántica. Sólo recuerdo que existía el experimento de Stern Gerlach en el que se disparan átomos de Ag de espín neutro 1/2. ¿Existe también una partícula elemental eléctricamente neutra? Si es así, ¿cómo sería este experimento en la teoría cuántica de campos? Por supuesto, lo pregunto para el orden más bajo, ya que si no tendríamos que calcular un número infinito de gráficos de Feynman, ¿no?

Answer 1

El espín es el momento angular intrínseco de un objeto, generalmente una partícula, medido en su marco de reposo. Los objetos grandes pueden girar alrededor de su eje. Incluso los objetos más pequeños pueden girar alrededor de un eje. La mecánica cuántica implica que no hay nada que impida a las partículas puntuales girar también alrededor de un eje.

En la mecánica cuántica, el momento angular alrededor de un eje es un múltiplo de $\hbar/2$ Esto puede demostrarse a partir de la unicidad de la función de onda bajo rotaciones de 720 grados (las rotaciones de 360 grados permiten cambiar la función de onda de una manera modesta, es decir, invertir su signo).

La cantidad exacta de espín de una partícula dada puede ser determinada por una teoría más profunda o por un experimento. Es un hecho que el electrón -o cualquier otro leptón, incluidos los neutrinos, o quark- tiene el espín de $J=\hbar/2$ el menor valor no nulo permitido.

Otras partículas elementales tienen diferentes espines. El bosón de Higgs tiene $J=0$ los fotones, gluones y bosones W/Z tienen $J=1\hbar$ mientras que el gravitón tiene $J=2\hbar$ .

No hay una relación directa entre el espín y la carga eléctrica. Por ejemplo, los neutrinos y los bosones Z tienen una carga eléctrica evanescente pero un espín no nulo; los bosones de piedra de oro comidos por los bosones W tienen un espín evanescente pero una carga no nula.

No hay nada como "una forma de ver el experimento en una teoría". Los experimentos son independientes de las teorías; siempre son los mismos; se realizan para comprobar la validez de las teorías. Algunas teorías aprueban, otras fracasan porque no están de acuerdo con los resultados de los experimentos. Para ciertos experimentos (de velocidad lenta, etc.), está bien utilizar una teoría más primitiva como la mecánica cuántica no relativista; para montajes más generales, se necesita una teoría más completa (teoría cuántica de campos) porque las teorías más simples producirían predicciones inadecuadas. Cada teoría debe definir el conjunto de experimentos para los que debe funcionar, y si no está de acuerdo con un experimento de este conjunto, tiene que ser abandonada.

Answer 2

Fundamentalmente, el espín se origina en el hecho de que queremos que nuestros campos cuánticos se transformen bien bajo transformaciones de Lorentz.

Matemáticamente, se puede empezar a construir el representaciones del grupo de Lorentz como sigue: Los generadores $M^{\mu \nu}$ puede expresarse en términos de los generadores de rotaciones $J^{i}$ y los de los impulsos $K^{i}$ . Cumplen $$ [J^{i}, J^{j}] = i \epsilon_{ijk} J^k, \, [K^i, K^j] = -i \epsilon_{ijk} J^k,\, [J^i, K^j] = i \epsilon_{ijk} K^k.$$ A partir de ellos se pueden construir los operadores $M^i = \frac{1}{\sqrt{2}} (J^i + i K^i)$ et $N^i = \frac{1}{\sqrt{2}} (J^i - i K^i)$ . Cumplen $$[M^i, N^j] = 0,\, [M^i, M^j] = i \epsilon_{ijk} M^k \, [N^i, N^j] = i \epsilon_{ijk} N^k$$ Estas son sólo las relaciones para el momento angular que deberías conocer de tu curso introductorio de QM. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, esto significa que cada representación del grupo de Lorentz puede caracterizarse por dos números enteros de medio número $(m, n)$ . Si construyes las transformaciones explícitamente encontrarás

• $(m = 0, n = 0)$ es un escalar, es decir, no cambia bajo LT.
• $(m = 1/2, n = 0)$ es un espinor de Weyl zurdo
• $(m = 0, n = 1/2)$ es un espinor de Weyl diestro
• $(m = 1/2, n = 1/2)$ es un vector

Un espinor de Dirac es una combinación de un espinor de Weyl derecho y otro izquierdo.

En realidad, ahora se pueden utilizar estos objetos y tratar de encontrar términos invariantes de Lorentz para construir una lagrangiana. A partir de esa construcción (que es demasiado larga para este post) se encuentra que la ecuación de Dirac es la única ecuación de movimiento sensata para un espinor de Dirac, ¡simplemente a partir de las propiedades del grupo de Lorentz! Del mismo modo se encuentra la ecuación de Klein-Gordon para escalares y así sucesivamente. (Incluso se pueden construir objetos de mayor espín que los vectores, pero éstos no tienen aplicación física, excepto quizás en las teorías de supergravedad).

Así que, como puedes ver ahora, el espín es fundamentalmente una propiedad del grupo de Lorentz. Es natural que encontremos partículas con espín distinto de cero en nuestro mundo invariante de Lorentz.

Nota: Dado que encontramos las ecuaciones de Dirac y Klein-Gordon a partir de la invariancia de Lorentz solamente, y su límite de baja energía es la ecuación de Schroedinger, obtenemos también una "derivación" de la ecuación de Schroedinger. La mayoría de las veces, la SE se postula simplemente y se trabaja con ella: ¡de ahí sale!