La siguiente pregunta fue hecha el año pasado en KoMal (Mayo de 2015):
¿Existen infinitamente muchos (no necesariamente convexa) 2015-ágonos en el plano de tal manera que cada tres de ellos tienen en común un punto interior, pero no las cuatro tienen un punto en común?
No tengo idea de cómo hacer frente a este problema.
Creo que la respuesta es 'no', y es relativa a la del teorema de Helly.
Cualquier ayuda es bienvenida, gracias.
He conseguido averiguar que, si es posible, debe utilizar arbitrariamente grandes polígonos. He aquí el argumento:
Supongamos que usted no tiene arbitrariamente grandes polígonos. Eso significa que el diámetro máximo (el más largo de acordes dentro de un único polígono) está acotada arriba por una constante $C$. Tomar cualquiera de los dos polígonos. Se debe intersectar, para cualquiera de las tres polígonos para tener un punto en común, lo que significa que no son más que $2C$ aparte. Elegir algún polígono que va a ser el "centro". Todos los demás polígonos están dentro de$2C$, por lo que todos los polígonos están contenidos en un círculo de radio de no más de $3C$ centrada en ese polígono.
Ahora dividir el conjunto de polígonos en grupos de tres. El área cubierta por cada grupo es finita y positiva, ya que debe tener algún área de intersección por la definición de cualquiera de los tres grupos. Usted también sabe que no hay intersección entre el área intersecada por cualquiera de los dos grupos, ya que entonces tendría que tener un punto en común entre los cuatro polígonos. Hay infinitamente muchos grupos, y cada uno contribuye un finito y cantidad distinta de la zona, por lo que el área total cubierta es infinito. Pero el área de nuestro círculo es $9C^2\pi$, que es finito. Por lo tanto, nuestros polígonos no podía ser limitado en tamaño, y por lo tanto se le debe permitir ser arbitrariamente grande.
Ahora a demostrar que no es posible: Tomar cualquier par de polígonos. Todos los otros polígono debe intersectar con ambos en algún área finita, y que el área debe ser distinta de la de la zona proporcionada por cualquier otro polígono, ya que de lo contrario tendría cuatro puntos en común. Se suman todos estos intersección de las áreas para cada uno de los otros polígonos. El área total es infinito. Pero la intersección de las áreas se encontraron dentro de los dos polígonos, y el total del área que cubren es finito, así que no podría haber conseguido infinito área de intersección. Así que por la contradicción, la respuesta es "no", si el argumento se sostiene.
Sin embargo, hay un problema con el tanto de mis argumentos, me he dado cuenta. Es un error común/error relacionado con el infinito, a ver si se puede ver.
El problema:
$\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{-i} = 1$, un número infinito de términos finitos, pero la suma es finita.
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