Es $\prod \limits_{n=2}^{\infty}(1-\frac{1}{n^2})=1$

Question

La pregunta es para comprobar si $\prod \limits_{n=2}^{\infty}(1-\frac{1}{n^2})=1$

tenemos $\prod \limits_{n=2}^{\infty}(1-\frac{1}{n^2})=\prod \limits_{n=2}^{\infty}(\frac{n^2-1}{n^2})=\prod \limits_{n=2}^{\infty}\frac{n+1}{n}\frac{n-1}{n}=(\frac{3}{2}.\frac{1}{2})(\frac{4}{3}.\frac{2}{3})(\frac{5}{4}.\frac{3}{4})...$

En por encima de los productos que tenemos para cada plazo $\frac{a}{b}$ a un plazo $\frac{b}{a}$ a excepción de $\frac{1}{2}$.. Así que, todos los demás términos se cancela y nos fuimos con $\frac{1}{2}$.

Por eso, $\prod \limits_{n=2}^{\infty}(1-\frac{1}{n^2})=\frac{1}{2}$.

Yo estaría muy agradecido si alguien puede asegurar que esta explicación es correcta/incorrecta??

Estoy resolver este tipo de problemas por primera vez, por lo tanto, sería de ayuda si alguien puede decir si hay otras maneras de hacer esto..

Gracias

Answer 1

Su explicación no es suficiente. La parte donde se dice que todo sino $1/2$ se cancela necesidades más rigurosos de verificación.

Para demostrarlo, vamos a "demostrar" que el infinito producto $1\cdot1\cdot1\cdot\ldots$ es igual a $1/2$. De hecho, $$ 1\cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots = \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) \cdot \cdots. $$ El $2$ en el primer factor se cancela el $\frac{1}{2}$ en el segundo, el $2$ en el segundo factor se cancela el $\frac{1}{2}$ en el tercero, y así sucesivamente. Todo, pero la primera $\frac{1}{2}$ queda cancelada, por lo que el infinito producto es igual a $\frac{1}{2}$.

Esto es claramente incorrecto. Para una explicación correcta de que usted debe buscar en productos parciales, como en user17762 la respuesta.

Answer 2

De hecho, Euler descubrió que

$$\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty (1-z^2/n^2)$$

que podemos manipular para

$$­\frac{\sin \pi z}{\pi z (1-z^2)} = \prod_{n=2}^\infty (1-z^2/n^2).$$

Mediante la comparación de los dos lados, a $z=1$, el producto es $1/2$.

Answer 3

Obviamente, el producto de los números positivos que menos de un 1 es menor que uno.