¿Es $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2n)}{1+\cos^4(n)} $ convergente?

Question

Como estaba revisando este 'niño prodigio' en Youtube, me topé con este video, en el que Glenn Beck pide al niño a hacer la siguiente prueba:

Más adelante, el niño comienza a bosquejar una prueba (sin una sombra de duda sobre la exactitud de su solución ), incluyendo la Integral de la Prueba. Yo no sé mucho acerca de las integrales impropias ya que acabo de terminar la secundaria, pero este enfoque integral parecía, de forma intuitiva, bastante inexactos para mí, ya que esto no es estrictamente una función decreciente. Luego me enteré de esto de la Wikipedia ! Condiciones para la Integral de la Prueba.

Además, la contundente evaluación que la serie es convergente parece dudoso..En un par de cálculos de mi propia(en su mayoría de las sumas parciales) , me inclino a creer que la serie son, de hecho, divergentes .

Puede alguien sugerir un rigurous tomar este problema (fácil como puede parecer a algunos de entre ustedes) ?

Answer 1

Si la serie es en efecto divergente. Es una condición necesaria para que la serie sea convergente, la secuencia $$ \frac{\sin(2n)}{1+\cos^4(n)} $$ tiende a cero como $n\to\infty$. Esto, sin embargo, no es el caso como $$ \left|\frac{\sin(2n)}{1+\cos^4(n)} \right|\geq \left|\frac{\sin(2n)} {2} \right|$$ y $\sin(2n)$ obviamente no tiende a $0$.

Answer 2

\begin{align} \sen(2n) y= 2\sin(n)\cos(n) = -\frac{\mathrm i}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(2\mathrm en)^n - (-2\mathrm i n)^n}{n!} \\ y= -\frac{\mathrm i}2 \sum_{n=0}^\infty \frac{n^n(2^n(\mathrm i^n - \mathrm i^{3n}))}{n!} \\ y= -\frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{(2\mathrm en)^n(1 - (-1)^n)}{n!}. \end{align}

Observando $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(2n)^n\mathrm i^{n+3}}{n!}\right| = \infty,$$ y que el radio de curvatura es de $\limsup_{n\to\infty}{(n!/(2n)^n)^{1/n}} = \lim{n\to\infty}(2n)^{-1} = 0,$ y que $$1 \le (1+\cos^4 n) \le 2,$$ es evidente que tanto la parte real e imaginaria de la serie $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sen 2n}{1+\cos^4 n}$$ divergen.

Del mismo modo, el mismo es cierto de ambas partes real e imaginaria de denominador. Por lo tanto la serie ni converge ni diverge.

Logra expresando $\sin(n)\cos(n)$ exponencialmente y la aplicación de la exponencial de la serie de expansión. Del mismo modo que el denominador.

Answer 3

De prueba de la divergencia es obvio también que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2n)}{1+\cos^4(n)} $ debe divergir.

Como $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sin(2n)}{1+\cos^4(n)} \neq 0. $$