Cómo probar indirectamente que si $42^n - 1$ es primo entonces n es impar?

Question

Yo estoy luchando para demostrar la siguiente declaración:

Si $42^n - 1$ es primo, entonces $n$ debe ser impar.

Estoy tratando de demostrar de manera indirecta, a través de la equivalente contrapositivo declaración, es decir, que si $n$ es incluso, a continuación, $42^n - 1$ no es primo.

Por definición, para cada número $n$ existe un entero $k$$n = 2k$. Sustituimos y obtener $$42^n - 1 = 42^{2k} - 1 = (42^2)^k - 1.$$

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que $(42^2)^k - 1$ no es un número primo? Esto es incluso la forma correcta de acercarse a esta prueba?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$42^{2k}-1=(42^k)^2-1=(42^k-1)(42^k+1)$$ donde $1\lt 42^k-1\lt 42^k+1$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\begin{align}42^n - 1 &\equiv 1 - 1 \\&\equiv 0 \pmod{41}\end{align}$$

así que la única manera para $42^n - 1$ a ser una de las primeras es de $n$$1$.

En general, para $a^n - 1$ a ser una de las primeras, donde $a, n \in\mathbb{Z}^+$, $a = 2$ o $n = 1$.

(No sé si esto cuenta como indirectos, pero que podría convertirse en algún tipo de contradicción)

Answer 3

Por el teorema del binomio, $42^n = (43-1)^n=43a+(-1)^n$.

Si $n$ es incluso, a continuación, $42^n-1$ es un múltiplo de a $43$.

Por otro lado, $42^n = (41+1)^n=41b+1$, y por lo $42^n-1$ es siempre un múltiplo de $41$. Por lo tanto, $42^n-1$ no es primo si $n>1$, independientemente de la paridad de $n$.