Cómo probar esta progresión aritmética no puede tener términos de la forma $2^m+3^n$ sólo?

Question

Vamos $a_{i}\in \mathbb{N}$, $a_{i}\ge 1$, $i=1,2,\ldots,7$ ser arbitraria, y tales que $a_{n+1}-a_{n}=d\neq 0,n=1,2,\cdots,6 $.

Entonces existe $a_{\ell}$, $\ell=1,2,\ldots,7$, tal que $$a_{\ell}\notin \{x:x=2^m+3^n,\;m,n\in \mathbb{Z},\;m,n\ge 0\}$$

Answer 1

Un número de la forma $2^m + 3^n$ sólo se puede dar en $163$ valores posibles mod $4095$, y de hecho, no hay progresiones aritméticas de longitud $7$ mod $4095$ en este conjunto. Por lo $d$ es divisible por $4095$. Pero en la medida en $n \ge 2$, no hay números de la forma $d=(2^w-2^x)+(3^y-3^z)$ $w \ne x$ $y \ne z$ que son divisibles por $4095$. Los casos de $n=0$ $n=1$ son aparentemente más sencillo de manejar.