¿Existe un campo $(F,+,*)$ para que $(F,+) \cong (F^*,*)$ ?

Question

Esta pregunta se me ha ocurrido hoy mismo.

Puedo ver que si el campo tiene una unidad, entonces hay un elemento de orden multiplicativo $2$ , a saber $-1$ . Por lo tanto, si hubiera un isomorfismo $(F,+) \cong (F^*,*)$ entonces la característica del campo tendría que ser divisible por dos, por lo que debe ser de característica dos. También tendría que ser un campo infinito, de lo contrario $N= N-1$ . Así que estoy buscando en particular algún campo infinito de característica 2, o algunos otros invariantes de grupo que podrían ayudar.

Otra posible pista es que $(F^*, *) \subseteq Aut(F, +)$ . ¿El exponente de un grupo influye en el exponente de su grupo de automorfismo? O algo parecido.

Sin embargo, aparte de eso, estoy atascado. ¿Alguien sabe si este es un problema accesible para mí? Sólo conozco lo básico de la teoría de campos, extensiones y teoría de Galois. ¿Alguien tiene una respuesta (o una pista) que quiera compartir?

Edición: Daniel Fischer ha respondido a mi pregunta.

¿Qué pasa con el caso cuando $R$ es un anillo conmutativo y estamos tratando de comparar $(R,+)$ con el grupo de unidades de $R$ ?

Answer 1

Como ya has descartado todas las características $\neq 2$ queda por descartar la característica $2$ .

En $(F,+)$ cada elemento $\neq 0$ tiene orden $2$ Por lo tanto, si tuviéramos $(F,+) \cong (F^\ast, *)$ Tendríamos $x^2 = 1$ para todos $x \neq 0$ . Pero en un campo de características $2$ , $x^2 -1 = (x-1)^2$ tiene una sola raíz, $1$ .

Así, $(F,+) \not\cong (F^\ast,*)$ para todos los campos $F$ .

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En cuanto a la adición, un anillo conmutativo cuyo grupo de unidades es isomorfo a su grupo aditivo, es posible. Un ejemplo utiliza los tres campos finitos $\mathbb{F}_2,\, \mathbb{F}_3,\,\mathbb{F}_4$ . El grupo multiplicativo de $\mathbb{F}_k$ es isomorfo al grupo cíclico $C_{k-1}$ para $k = 2,3,4$ . El grupo aditivo de $\mathbb{F}_4$ es isomorfo a $C_2^2$ y, por tanto, al grupo multiplicativo de $\mathbb{F}_3^2$ Así que

$$R = \mathbb{F}_2 \times \prod_{k=0}^\infty \left(\mathbb{F}_3^{2^k}\times \mathbb{F}_4^{2^k}\right)$$

tiene grupo aditivo isomorfo y grupo de unidades:

$$(R^\ast,*) \cong \{1\} \times \prod_{k=0}^\infty \left(C_2^{2^k}\times C_3^{2^k}\right) \cong C_2\times C_3 \times C_2^2 \times C_3^2 \times C_2^4 \times C_3^4\times \dotsc,$$

y

$$(R,+) \cong C_2 \times \prod_{k=0}^\infty \left(C_3^{2^k}\times C_2^{2^{k+1}}\right) \cong C_2 \times C_3 \times C_2^2\times C_3^2\times C_2^4 \times C_3^4\times\dotsc\,.$$