Probar que un aditivo función de $f$ es continua si es continua en un punto único

Question

Supongamos que $f$ es continua en a $x_0$ $f$ satisface $f(x)+f(y)=f(x+y)$. Entonces, ¿cómo podemos probar que $f$ es continua en a $x$ todos los $x$? Me parece haber problema en hacer cualquier cosa con él. Gracias de antemano.

Answer 1

Fix $a\in \mathbb{R}.$

Entonces

$\begin{align*}\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) &= \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x - x_0 + a)\\ &= \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} [f(x) - f(x_0) + f(a)]\\& = (\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)) - f(x_0) + f(a)\\ & = f(x_0) -f(x_0) + f(a)\\ & = f(a). \end{align*}$

De ello se desprende $f$ es continua en a $a.$

Answer 2

Vamos a examinar su situación. Usted tiene que $\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)$ algunos $a\in \mathbb{R}$ y que para cualquier $x,y\in \mathbb{R}, f(x)+f(y)=f(x+y)$. Quieres demostrar que para cualquier $c\in \mathbb{R}, \lim_{x\rightarrow c} f(x) = f(c)$. El paso clave aquí es darse cuenta de que $$\lim_{x\rightarrow c} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} f(x-a+c)$$ debido a $|(x-a+c)-c| = |x-a|$, por lo que en la llanura inglés $x$ está cerca de a $a$ si y sólo si $x-a+c$ está cerca de a $c$. A continuación, podemos completar la prueba de la siguiente manera: $$\lim_{x\rightarrow a} f(x-a+c) = \lim_{x\rightarrow a} (f(x) + f(c-a)) = f(a) + f(c-a) = f(c)$$

Answer 3

Supongamos $x=x_0, f(x_0) + f(y) = f(x_0 + y)$ tomando como límite $y$ tiende a $0$, obtenemos $\lim_{y\rightarrow 0} (f(x_0) + f(y)) = \lim_{y\rightarrow 0} f(x_0 + y)$ De la continuidad en $x_0$, sabemos que el lado derecho de la ecuación anterior es$f(x_0)$, lo que significa que $\lim_{y\rightarrow 0} f(y) =0$

Siguiente bit es simple. Para cualquier $x,y$ en el dominio, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ continuidad puede ser establecido mediante la comprobación de si $\lim_{y\rightarrow 0} f(x+y) =f(x)$ que es cierto que desde $f(x+y)=f(x)+f(y)$$\lim_{y\rightarrow 0}f(y)=0$. Por lo tanto $f(x)$ es continua en todas partes en el dominio.

Soy nuevo aquí, así que no sé cómo a la entrada de ecuaciones usando latex. Pls lidiar con ello.