Encuentra el valor exacto de la suma infinita $\sum_{n=1}^\infty \big\{\mathrm{e}-\big(1+\frac1n\big)^{n}\big\}$

Question

¿Cómo podemos encontrar el exactamente valor de la suma infinita $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left\{\mathrm{e}-\Big(1+\frac1n\Big)^n\right\}?$$

Este problema aparece en:

T. Andreescu, T. Radulescu y V. Radulescu, Problemas en Análisis Real: Cálculo avanzado en la línea real , p.114.

Answer 1

Tenemos la siguiente aproximación para $\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$ : $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}=\mathrm{e}^{n\log(1+\frac{1}{n})}=\mathrm{e}^{1-\frac{1}{2n}+{\mathcal O}(n^{-2})}=\mathrm{e}\left(1-\frac{1}{2n}+{\mathcal O}\Big(\frac{1}{n^2}\Big)\right),$$ desde $$\log \Big(1+\frac{1}{n}\Big)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+{\mathcal O}\Big(\frac{1}{n^3}\Big) \quad\text{and}\quad \mathrm{e}^h=1+h+{\mathcal O}(h^2),$$ para $h$ pequeño y $n$ grande. Por lo tanto, $$\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}=\frac{\mathrm{e}}{2n}+{\mathcal O}\Big(\frac{1}{n^2}\!\Big).$$ Esto implica que la serie diverge, es decir, $$\sum_{n=1}^\infty \left\{\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!n}\right\}=\infty.$$ Nota. Todo el término de la secuencia $$a_n=\mathrm{e}-\Big(1+\frac{1}{n}\!\Big)^n, \quad n\in\mathbb N,$$ son positivos, ya que $\mathrm{e}^{1/n}>1+\frac{1}{n}$ . Cabe destacar que la serie $\sum_{n=1}^\infty \big\{ \mathrm{e}-\big(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\!\big)^n\big\}$ , también de términos positivos es convergente.

Answer 2

Como alternativa, sin utilizar los registros, observe que si ampliamos $( 1+ \frac{1}{n})^{n}$ mediante el teorema del binomio, para $2 \leq k \leq n,$ el $k$ -El quinto sumando es $\frac{1}{k!}(1 - \frac{1}{n}) \ldots (1 - \frac{(k-1)}{n}) \leq \frac{1}{k!}(1 - \frac{1}{n}) .$ Esto significa que $e - (1+\frac{1}{n})^{n}$ es mayor o igual que $\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!}.$ Esto es al menos $\frac{1}{2n}$ para $n \geq 2.$ Por lo tanto, la suma dada es mayor o igual a $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2n},$ que diverge.