Evaluar $\int\sin(\sin x)~dx$

Question

Yo estaba rozando las páginas virtuales aquí y notó un límite que me hizo pensar en la siguiente
pregunta: ¿hay una buena manera de evaluar la integral indefinida de abajo?

$$\int\sin(\sin x)~dx$$ Tal vez una manera podría utilizar la expansión de Taylor. Gracias por cualquier sugerencia, propuesta.

Answer 1

Tal vez se podría hacer algo como sustituto $u=\sin{x}$ y obtener

$$\int du \: \frac{\sin{u}}{\sqrt{1-u^2}}$$

Usted podría Taylor ampliar el denominador y estar en una posición para integrar también los momentos de $\sin{u}$ y ver si el resultado de la serie es útil.

Answer 2

Para la serie de maclaurin de $\sin x$ , $\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\therefore\int\sin(\sin x)~dx=\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n\sin^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx$

Ahora para $\int\sin^{2n+1}x~dx$ donde $n$ es cualquier entero no negativo,

$\int\sin^{2n+1}x~dx$

$=-\int\sin^{2n}x~d(\cos x)$

$=-\int(1-\cos^2x)^n~d(\cos x)$

$=-\int\sum\limits_{k=0}^nC_k^n(-1)^k\cos^{2k}x~d(\cos x)$

$=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}n!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2k+1)}+C$

$\therefore\int\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n\sin^{2n+1}x}{(2n+1)!}dx=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{n+k+1}n!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2n+1)!(2k+1)}+C$