Parte real acotada polinómica de una función entera

Question

Sea $f(z)$ sea una función entera cuya parte real esté acotada por un polinomio en $|z|$ . ¿Se deduce que $f(z)$ ¿es un polinomio?

O, sin pérdida de generalidad y de forma más sugerente $$(f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k \quad \land \quad \operatorname{Re}(f(z))\leq |z|^n)\quad \forall z\in \mathbb{C} \qquad \Rightarrow \qquad f(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k \quad\forall z\in \mathbb{C}$$

Answer 1

La respuesta es sí. Supongamos que $f$ es una función entera tal que $\operatorname{Re}(f(z))\leq |z|^n$ para todos $z \in \mathbb{C}$ . Sea $0<r<R$ . Entonces por el Carathéodory desigualdad tenemos

$$|f(z)| \leq \frac{2r}{R-r} R^n + \frac{R+r}{R-r}|f(0)|$$ para cada $|z|\leq r$ . Ahora bien, si $a_k$ son los coeficientes de Taylor de $f$ tenemos $$a_k = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=r}\frac{f(z)}{z^{k+1}} dz$$ y así $$|a_k| \leq \frac{1}{r^k}\left( \frac{2r}{R-r} R^n + \frac{R+r}{R-r}|f(0)|\right).$$ Con $R=2r$ obtenemos $$|a_k| \leq \frac{1}{r^k}\left( 2^{n+1}r^n + 3|f(0)|\right).$$ Si $k>n$ tiende a cero a medida que $r \rightarrow \infty$ . De ello se deduce que $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ .