Tener dificultades para entender los grupos topológicos.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $x,y\in G$ . Decimos que una topología $\mathcal{T}$ es una topología de grupo si las funciones $$f: G\times G \rightarrow G,\quad (x,y)\mapsto xy$$ y $$g: G\to G,\quad x\mapsto x^{-1}$$ son continuos. Llamamos al par $(G,\mathcal{T})$ un grupo topológico.

Estoy tratando de entender la definición anterior jugando con algunos ejemplos básicos. Para crear un ejemplo para mí, traté de tomar el grupo simétrico $S_{3}$ y trató de convertirlo en tantos grupos topológicos como fuera posible.

De entrada, he descartado la topología discreta y trivial como intuitivamente obvia como grupos topológicos y siento que no hay otras topologías de grupo en $S_{3}$ . ¿Es esto cierto?

Intenté crear constructivamente un tercer grupo estableciendo $(123) \in S_{3}$ como un conjunto abierto para mi pronta topología. Usando la definición de una topología sabemos que

$$\{\emptyset, (123), S_{3}\}\subseteq \mathcal{T}.$$

Ahora, si requiero $f$ para ser continua, ya estoy muy perdida hasta el punto de no saber qué decir. Tenemos que $f$ es una función de $G\times G \rightarrow G$ como función sobre elementos del grupo; pero la definición de continuidad requiere $f: X\rightarrow Y$ donde $X$ y $Y$ son espacios topológicos. Mi inclinación sería ignorar este detalle técnico asumiendo que $G\times G$ y $G$ pueden actuar como espacios topológicos, lo que me lleva de nuevo a un círculo en cuanto a lo que los conjuntos abiertos de $G$ tiene que ser. ¿Los conjuntos abiertos de $G$ como espacio topológico también tiene que ser un grupo topológico? ¿Cómo podría empezar a elegir una topología en $G\times G$ ? La topología de caja es la más natural, pero ¿por qué no una más exótica?

Esto parece haberme abierto un barril de gusanos mucho más grande cuando todo lo que hice fue conjeturar para mí mismo que las únicas dos topologías de grupo en $S_{3}$ son la topología discreta y la trivial.

Answer 1

¿Cómo puedo empezar a elegir una topología en $G\times G$ ? La topología de caja es la más natural, pero ¿por qué no una más exótica?

El topología del producto . En el caso de un número finito de factores, eso es lo mismo que la topología de caja, pero llamarla topología de producto tiene la ventaja de indicar que esa es la natural topología para dotar a un producto. Y dotar a un producto cartesiano de espacios topológicos con la topología de producto lo convierte en un producto en la categoría de espacios topológicos (donde los morfismos son mapas continuos).

Siempre que se encuentre un producto de espacios topológicos, a menos que se mencione explícitamente qué topología se utiliza, se entiende tácitamente que el producto está dotado de la topología del producto.

Ahora bien, las topologías de grupo son un tanto especiales. En un grupo topológico $G$ de la continuidad de la multiplicación, obtenemos que para cada $g\in G$ la traducción de la izquierda $\gamma_g \colon x \mapsto gx$ y la traducción correcta $\delta_g \colon x \mapsto xg$ son continuos. Como las traslaciones son biyectivas y sus inversas son también traslaciones ( $(\gamma_g)^{-1} = \gamma_{g^{-1}},\: (\delta_g)^{-1} = \delta_{g^{-1}}$ ), son efectivamente homeomorfismos. Por lo tanto, si se quiere construir una topología de grupo - sobre $S_3$ En este caso, si se decide que un conjunto concreto esté abierto, todos sus traslados (izquierda y derecha) deben estarlo también. En particular, si se tiene un único conjunto abierto, se deduce que todos los únicos conjuntos son abiertos, y se tiene la topología discreta.

Pero, para construir topologías sobre grupos finitos, mirando cerrado conjuntos en lugar de conjuntos abiertos tiene algunas ventajas:

En un grupo topológico $G$ , si $H$ es un subgrupo de $G$ entonces la continuidad de la multiplicación y la inversión muestra que el cierre $\overline{H}$ es de nuevo un subgrupo. Y si $H$ es un subgrupo normal, entonces $\overline{H}$ es normal. Ahora, en cualquier grupo, $\{e\}$ es un subgrupo normal. Y por lo tanto, en todo grupo topológico, $\overline{\{e\}}$ es un subgrupo normal.

Dar la vuelta a las cosas, en grupo $G$ cada subgrupo normal $N$ es un candidato para $\overline{\{e\}}$ (y siempre hay topologías de grupo en $G$ para lo cual $N = \overline{\{e\}}$ ). En un grupo finito $G$ para cada subgrupo normal $N$ hay precisamente una topología de grupo en $G$ tal que $N = \overline{\{e\}}$ . Y, en un grupo finito, todo subgrupo cerrado es también abierto. Como $S_3$ tiene tres subgrupos normales, hay precisamente tres topologías de grupo en $S_3$ .

Answer 2

Una de las consecuencias de la definición de grupo topológico es que para cualquier $g\in G$ arreglado, el mapa $$ h \mapsto gh $$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, si cualquier conjunto unitario $\{h\}$ está abierto, entonces también lo está $$ \{gh\} \quad\forall g\in G $$ y por lo tanto todos los singletons son abiertos, es decir, la topología es discreta.

En mi opinión, lo mejor es jugar con ejemplos como $GL_n(\mathbb{R})$ . Por ejemplo, un hecho que siempre me ha parecido muy interesante es que la componente conexa de la identidad es un subgrupo normal; determinar este subgrupo para los grupos lineales es bastante divertido.