La Paradoja De San Petersburgo

Question

Una feria de la moneda será sacudido hasta las cabezas de los resultados. Entonces usted será pagado $2^{n-1}$ dólares donde $n$ es igual al número de lanzamientos. Ahora ¿por qué la espera pagar infinito? $$ \sum_{n \geq 1} (\frac{1}{2^n})2^{n-1} = \sum_{n \geq 1} \frac{2^{n-1}}{2^n} $$ Why does this give the payout? The payout shouldn't be infinite, it should be a potential infinity. For example, if I flip the coin once and it is a tails, then I will receive two dollars for certain. On the second flip there is a $25$ percent chance that I will receive a minimum of $4$ dollars. but a $75$ percent chance that I will receive only two dollars. And so on as the chances of receiving more money decreases and eventually approaches $0$.
¿Por qué entonces se sugiere que un inversionista pagar cualquier cantidad de dinero por una oportunidad?

Fuente: Una Breve Historia de la Paradoja, la Filosofía y los Laberintos de la Mente

Obviamente esto parece falso por la intuición, pero me gustaría saber el argumento de la paradoja; por qué uno tendría que pagar un billón de dólares para entrar en juego. El argumento parece demasiado falaz para mí.

Cuántas veces uno tiene que jugar? Después de casi veinte mil obras de teatro, todavía estamos haciendo menos de 8 dólares. SI cada veinte mil juega aumentamos nuestras ganancias por 8 dólares, tendríamos que jugar a cientos de miles de millones de veces sólo para comenzar a tener una ganancia media igual a un billón de... se nos había agotado el tiempo en el universo que parece...

Edit soy curioso, sin embargo, si el conjunto de la pendiente de los datos de la simulación podría ser coherentes, si es así ¿por qué? Si no, ¿por qué? Lo que cuentas para los saltos verticales vemos que ocurren menos y con menos frecuencia? ¿Por qué se producen?

Answer 1

Supongamos que pagar un billón de dólares para entrar en el juego. La siguiente tabla contiene algunos de los valores de la red de la rentabilidad que, posiblemente, puede acabar con los y las probabilidades correspondientes:

\begin{align*} \begin{array}{rr} 1/2&-\,1\mathord{,}000\mathord{,}000\mathord{,}000\mathord{,}000\\ 1/4&-\,999\mathord{,}999\mathord{,}999\mathord{,}998\\ 1/8&-\,999\mathord{,}999\mathord{,}999\mathord{,}996\\ 1/16&-\,999\mathord{,}999\mathord{,}999\mathord{,}992\\ \vdots\\ 1/2^{10}&-\,999\mathord{,}999\mathord{,}999\mathord{,}488\\ \vdots\\ 1/2^{20}&-\,999\mathord{,}999\mathord{,}475\mathord{,}712\\ \vdots\\ 1/2^{30}&-\,999\mathord{,}463\mathord{,}129\mathord{,}088\\ \vdots\\ 1/2^{40}&-\,450\mathord{,}244\mathord{,}186\mathord{,}112\\ 1/2^{41}&99\mathord{,}511\mathord{,}627\mathord{,}776\\ 1/2^{42}&1\mathord{,}199\mathord{,}023\mathord{,}255\mathord{,}552\\ \vdots\\ 1/2^{50}&561\mathord{,}949\mathord{,}953\mathord{,}421\mathord{,}312\\ \vdots\\ 1/2^{100}&633\mathord{,}825\mathord{,}300\mathord{,}114\mathord{,}114\mathord{,}699\mathord{,}748\mathord{,}351\mathord{,}602\mathord{,}688\\ \vdots\\ 1/2^{200}&803\mathord{,}469\mathord{,}022\mathord{,}129\mathord{,}495\mathord{,}137\mathord{,}770\mathord{,}981\mathord{,}046\mathord{,}170\mathord{,}581\mathord{,}301\mathord{,}261\mathord{,}101\mathord{,}496\mathord{,}890\mathord{,}396\mathord{,}417\mathord{,}650\mathord{,}688\\ \vdots \end{array} \end{align*}

La paradoja se encuentra en la siguiente observación. Si usted toma un préstamo de un billón de dólares para jugar a este juego, usted va a ir a la quiebra con una gran probabilidad. Sin embargo, una vez en la vida (ni siquiera de un humano, sino del universo) usted gana una indeciblemente cantidad de dinero grande, tan grande que ni siquiera pueden imaginar.

A la luz de esta observación, una persona razonable que no volvería a jugar a este juego sólo una vez. Vale la pena jugar solo si se puede jugar indefinidamente, mientras que usted tiene acceso ilimitado de endeudamiento. Lo que va a pasar es que va a seguir jugando para miles de millones de años, acumulando una enorme deuda de acuerdo con su infinito línea de crédito. Pero después de un tiempo muy largo, que va a ganar tanto dinero que es suficiente para pagar esta deuda importante y todavía la compra de todo el mundo. Como @IanColey ponerlo, esto es debido a que las posibilidades de ganar mucho dinero y son muy, muy pequeñas, pero las recompensas asociadas con estos muy, muy pequeñas las probabilidades son mucho, mucho, mucho más enormes que las probabilidades son ínfimas.

Answer 2

Las expectativas son declaraciones sobre el comportamiento de una variable aleatoria como sacar de ella una infinidad de veces. Si usted tuvo un balance infinito, se puede jugar el juego infinitamente muchas veces a $1.000.000.000.000 de pop, ganar dinero en el largo plazo (incluso si has perdido 10 veces en una fila). Al mismo tiempo, también estamos suponiendo (en lugar incorrectamente) que el saldo de la persona que la entrega de la recompensa es infinita. Si cualquiera de estos supuestos, se invalida, nuevas dinámicas que entran en la ecuación. Si usted no tiene dinero infinito, usted debe considerar el riesgo (por ejemplo, si la apuesta es tan grande como la totalidad de su patrimonio neto, usted tiene un 50/50 de perderlo todo en un sorteo), y si la persona que ofrece el juego tiene finita de dinero, la expectativa de jugar el juego hasta el infinito no puede ser infinito, ya que el juego termina (así como su oportunidad para acumular más ganancias) cuando se le acabe el dinero.

Wikipedia tiene una pequeña reseña de la razón matemática es infinito así como los problemas a los que me trajeron hasta - así como explicaciones alternativas.

http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox

Answer 3

El juego se describe una variable aleatoria $X$, que representa la cantidad de dinero que obtendrá por el juego. Usted no sabe cuál será el resultado, por eso $X$ es una variable aleatoria. Sabemos, sin embargo lo que los valores de $X$ puede ser, a saber, cualquier cosa de la forma $2^n$. También sabemos cuál es la probabilidad de que obtendrá $2^{n-1}$, es decir, que es, precisamente,$\frac{1}{2^{n}}$. Por lo tanto $P(X=2^{n-1})=\frac{1}{2^{n}}$.

Ahora, esto es un juego ideal ya que en realidad nunca jamás $2^{100000000000000000000} $ dólares. no porque la probabilidad de que esto ocurra es muy pequeña, pero simplemente porque no existe tal cantidad de dinero que existe. No obstante, podemos contemplar las propiedades de este juego ideal y deducir las propiedades de cualquier aproximación al mismo, a saber, cuando en realidad jugando a este juego.

La expectativa de $X$ ($\infty $ por el cálculo que usted cita) es un matemático de la entidad que representa, en cierto sentido, lo que esperamos que el valor de $X$. Esto es muy, muy crudo, y aunque debe ser interpretado correctamente, especialmente cuando la expectativa es $\infty $.

En el caso anterior, la expectativa es $\infty $ significa que la ganancia esperada de jugar el juego es $\infty$, aproximadamente, en el siguiente sentido. Supongamos que para jugar el juego, usted tiene que pagar una cantidad finita $K$ por cada vez que desee jugar. Si usted juega el tiempo suficiente (puede ser un tiempo muy, muy largo!) que el total de las ganancias serán mayores que el total de sus pérdidas, no importa lo $K$ (como mucho tiempo ya que es fijo para toda la duración del juego). En este sentido, es matemáticamente justificado que estar dispuesto a pagar cualquier cantidad fija de dinero para jugar el juego.

Por supuesto, el idealista de la naturaleza de la situación matemática descuida varios humanamente factores importantes tales como la utilidad, la cual es comúnmente cómo esta paradoja se resuelve.

Comentario: Los dos sobres de la paradoja, que es un poco relativa, es mucho más difícil de resolver.

Answer 4

Si el saldo de tu oponente es finita, en lugar de infinito, el resultado es bastante diferente. Supongamos que en lugar de tu oponente dice que él le pagará $2^{n-1}$ dólares si usted mueve de un tirón $n$ colas antes de su primer jefe, mientras que es menos que un billón de dólares (porque eso es todo lo que tiene en la mano). Entonces su beneficio esperado es sólo $$ 1\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{4}+\ldots+2^{K-1}\cdot\frac{1}{2^K}=\frac{1}{2}K, $$ donde $$ K=\lceil\log_{2}10^{12}\rceil=40, $$ y sólo debe estar dispuesto a pagar $\$20$ for a chance to play. Similarly, unless you'll really derive twice as much joy from two trillion dollars as from one trillion dollars (which I think would make you unusual), you shouldn't put in more than about $20$ bucks.

El punto es que todos los de la infinita espera volver proviene de la parte alta de la rentabilidad de la distribución, donde su intuición tiende a romperse.