Si una secuencia satisface $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1} - a_n|=0$ entonces el conjunto de su límite de puntos está conectado

Question

Demostrar que si una secuencia satisface $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+1} - a_n|=0$ entonces el conjunto de su límite de puntos está conectado.

Mi profesor mencionó a una proposición del mismo modo, pero no puedo encontrar la versión exacta de la misma. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Si esto es acerca de las secuencias en $\mathbb R$, entonces la instrucción se reduce a esto:

Deje $(a_n)$ ser una secuencia en $\mathbb R$ tal que $\lim_{n\to \infty}|a_{n+1}-a_n|=0$. Si $x<y<z$ $x,z$ límite de puntos, a continuación, $y$ es un punto límite.

La prueba es simple: Por $\epsilon>0$, encontramos a $M$ tal que $a_{n+1}-a_n<\epsilon$ todos los $n>M$. Deje $N$ ser un número natural $>M$. Debido a $x$ es un punto límite, hay un $r>N$ tal que $a_r<y$. Debido a $z$ es un punto límite, hay un $s>r$ tal que $a_s>y$. Por lo tanto, entre los números de $r,\ldots, s-1$ existe un $n$ tal que $a_n<y$$a_{n+1}\ge y$. Debido a $n\ge r>M>N$,$y>a_n>a_{n+1}-\epsilon\ge y-\epsilon$. En resumen, teniendo en cuenta $\epsilon>0$ $N\in\mathbb N$ hemos encontrado $n>N$$|y-a_n|<\epsilon$. En otros palabras: $y$ es un punto límite.

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Como corolario de usar closedness: Si $(a_n)$ es una secuencia en $\mathbb R$ tal que $\lim_{n\to \infty}|a_{n+1}-a_n|=0$, entonces el conjunto de límite de puntos de $(a_n)$ tiene una de las siguientes formas:

• $\emptyset$: Tomemos, por ejemplo, $a_n=\sqrt n$
• $\{a\}$: Tomemos, por ejemplo,$a_n=a+\frac1n$.
• $\mathbb R$: Vamos a $a_n = f(n)$ donde $f(x)=\sqrt[3]x\sin\sqrt x$; observar que $a_{n+1}-a_n= f'(\xi)=\frac13\xi^{-\frac23}\sin\sqrt\xi+\xi^{-\frac13}\cos\sqrt\xi$ algunos $\xi\in[n,n+1]$, por lo tanto $|a_{n+1}-a_n|\to 0$. Para arbitrario $x\in\mathbb R$ uno fácilmente se ve que $a_n>x$ infinitamente a menudo y $a_n<x$ infinitamente a menudo; como en el profe por encima de la de conlcudes de esto que $x$ es un punto límite.
• $(-\infty,a]$ : $f$ Como se define solamente en el anterior artículo, vamos a $a_n=\min\{f(n),a\}$
• $[a,\infty)$: Esta vez vamos a $a_n=\max\{f(n),a\}$
• $[a,b]$ $a<b$ : Esta vez finalmente dejó $a_n=\min\{\max\{f(n),b\},a\}$

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Combinar esto con mi comentario anterior: La declaración anterior es, en general, no sucede lo mismo en otros espacios. Como un simple ejemplo considere el $\mathbb R^2$ y la curva de $\gamma\colon[0,\infty)\to \mathbb R^2$, $t\mapsto (\cos t,(1+ t)\sin t)$. Tenga en cuenta que $\gamma$ pasa a través de ambos $(1,0)$ $(-1,0)$ infinitamente a menudo. Deje $\tilde\gamma$ ser el reparametrization de $\gamma$ por longitud de arco. Que es: $\tilde\gamma(t)=\gamma(h(t))$ para algunos continua y monotonuously el aumento de la función $h:[0,\infty)\to[0,\infty)$ $|\tilde\gamma'(t)|=1$ todos los $t$. Set $a_n = \tilde\gamma(\sqrt n)$. A continuación,$|a_{n+1}-a_n|\le \sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to 0$, pero $a_n$ es ilimitado.

A continuación, $(1,0)$ es un límite de puntos de $(a_n)$: Vamos a $\epsilon>0$ $N\in \mathbb N$ ser dado. Tenemos que exhiben $n>N$ tal que $|a_n-(1,0)|<\epsilon$. Wlog. $n>N$ implica $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<\epsilon$. No es $k\in N$ tal que $2 k\pi>h(\sqrt N)$. Deje $t_k=h^{-1}(2k\pi)$ $n$ mínimo en $n>t$. A continuación,$n>N$$|a_n-(1,0)|=|\hat\gamma(\sqrt n)-\hat\gamma(t_k)|\le \sqrt n -t_k\le \sqrt n-\sqrt{n-1}<\epsilon$.

Del mismo modo, una prueba que $(-1,0)$ es un punto límite.

Si el conjunto de límite de puntos está conectado, debe haber un punto límite de la forma $(0,y)$. Pero $|a_n-(0,y)|<\frac12$ implica que (con $t:=h(\sqrt n)$$|\cos t|<\frac12$, por lo tanto $|\sin t|>\frac 12$$|(1+t)\sin t|<|y|+1$, es decir, $t<2|y|+1$ y, finalmente,$n<\left(h^{-1}(2|y|+1)\right)^2$. Por lo tanto $(0,y)$ no es un punto límite y, finalmente, el conjunto de límite de puntos no está conectado.