¿Hay alguna forma de derivar $E=mc^{2}$ ? Puedo entender que la energía de algo es proporcional a su masa, pero la $c^{2}$ parte. No tengo ni idea. Parece que tal y como van las unidades terminaría como $kg*(m/s)^{2}$ que creo que es la unidad de Newtons, no de energía. ¿Y por qué no hay una constante de proporcionalidad $k$ ? ¿Acaso Einstein lo preparó perfectamente para que no hubiera ninguno?
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Una derivación sencilla y accesible a los profanos que sólo saben hacer matemáticas de nivel de primaria, parte del hecho de que un pulso de radiación electromagnética con energía $\mathbf{E}$ tiene un impulso de $\dfrac{\mathbf{E}}{\mathit{c}}$ . Además, se asume la conservación del momento. Hacemos un experimento mental con una caja cerrada que contiene dos objetos de masa $\mathtt{M}$ . Sobre la caja no actúan fuerzas externas, por lo que el momento de la caja se conserva. Esto significa que, pase lo que pase en el interior de la caja, si ésta estaba inicialmente en reposo, permanecerá en reposo. En particular, es imposible que el centro de masa de la caja se mueva.
Consideramos entonces el siguiente proceso que ocurre dentro de la caja. Un objeto emite un pulso de luz de energía $\mathbf{E}$ que es absorbida completamente por el otro objeto. Debido al retroceso de la luz, las masas se moverán, pero las velocidades serán obviamente muy pequeñas (para objetos macroscópicos). Por lo tanto, podemos suponer con seguridad que la mecánica clásica será válida después de que el pulso de luz haya sido absorbido. Si se quiere ser muy riguroso, hay que tomar el límite de $\mathtt{M}$ al infinito para que la mecánica clásica sea exactamente correcta.
Debido a la conservación del momento, en el marco de reposo original de la caja, el centro de masa de la caja no cambiará. Ahora bien, la mecánica clásica no da una descripción correcta de los fenómenos relativistas como la luz, pero puede utilizarse para describir la situación en la caja tanto antes de que se emitiera el pulso de luz como después de que se absorbiera.
Lo que está claro es que el objeto que emite el pulso de luz se alejará del otro objeto con la velocidad de $$v = \dfrac{\mathbf{E}}{\mathtt{M} \cdot \mathit{c}}$$ . Si el otro objeto está a una distancia de $\mathit{L}$ de distancia, entonces tomará un tiempo de $T = \dfrac{\mathit{L}}{\mathit{c}}$ antes de que el otro objeto absorba ese pulso de luz. Por lo tanto, parece que el centro de masa se desplazará en $\frac{1}{2} v\cdot T = \frac{1}{2} \dfrac{\mathbf{E} \cdot \mathit{L}}{\mathtt{M} \cdot {\mathit{c}}^2}$ debido al tiempo que transcurre entre el momento en que el objeto que emite los pulsos de luz comienza a moverse y el momento en que el objeto que absorbe el pulso de luz comienza a moverse.
Pero, por supuesto, una caja cerrada sobre la que no actúan fuerzas externas no puede moverse por sí misma. Las masas deben haber cambiado debido a la transferencia de energía. Como se supone que la mecánica clásica es válida, también tenemos la conservación de la masa, por lo que la suma de las masas de los objetos no habrá cambiado. Si el objeto emisor ha perdido una masa de $d\mathtt{M}$ el objeto receptor habrá ganado una masa de $d\mathtt{M}$ . Una transferencia de una masa de $d\mathtt{M}$ del objeto emisor al objeto receptor habrá desplazado el centro de masa en una cantidad de $\mathit{L} \dfrac{d\mathtt{M}}{2\mathtt{M}}$ en la dirección opuesta al desplazamiento debido al movimiento. Para que los dos efectos se anulen mutuamente, es necesario que $$\mathit{L} \dfrac{d\mathtt{M}}{2\mathtt{M}} = \frac{1}{2} \dfrac{\mathbf{E} \cdot \mathit{L}}{\mathtt{M} \cdot {\mathit{c}}^2} \implies \mathbf{E} = d\mathtt{M} {\mathit{c}}^2$$ .
Por lo tanto, la transferencia de energía a través del pulso de luz llevó a la transferencia de masa según $\mathbf{E} = \mathtt{M} {\mathit{c}}^2$ . Debido a la conservación de la energía y a la capacidad de la energía de transformarse de una forma a otra (por ejemplo, el pulso de luz se convertirá en calor, energía química o lo que sea), se puede argumentar entonces que cualquier transferencia de energía implica una transferencia de la masa equivalente según $\mathbf{E} = \mathtt{M} {\mathit{c}}^2$ . Esto, a su vez, lleva a la conclusión de que la masa de un objeto es simplemente el contenido total de energía del objeto dividido por ${\mathit{c}}^2$ .
Chris Kobrzak
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La respuesta depende realmente de lo que se asuma. Podrías empezar con la acción relativista, $$ S=-mc\int d\tau $$ donde $c^2d\tau^2=dx^\mu dx_\mu$ , tal que el Lagrangiano es $$ L=-mc\sqrt{1-(v/c)^2} $$ por lo que el impulso se desprende de $p=\partial L/\partial v$ y la energía total es $E=pv-L$ --esto lleva directamente a \begin {align} E&= \gamma mc^2= \left (1-v^2/c^2 \right )^{-1/2}mc^2 \tag {1} \\ p&= \gamma mv= \left (1-v^2/c^2 \right )^{-1/2}mv \tag {2} \end {align} Donde se puede utilizar la primera para resolver $v$ y se inserta en este último para obtener la relación esperada para $p=0$ (insertado después de resolver).
También se puede empezar con (1) y suponer $v\ll c$ tal que se puede utilizar la aproximación, $$ (1-x)^n\approx1-nx $$ tal que $$ E\approx\left(1-\frac{v^2}{2c^2}\right)mc^2=mc^2+\frac12mv^2 $$ donde el último término es igual a 0 para una partícula estacionaria, lo que lleva de nuevo a la famosa $E=mc^2$ .
que creo que es la unidad de Newtons, no de energía.
La unidad de energía del SI es el Joule, definido como $$ \rm Joule=1\,kg\,\frac{m^2}{s^2}=1\,N\,m $$ así que $mc^2$ es efectivamente una energía, no una fuerza.
¿Y por qué no hay una constante de proporcionalidad? ¿Acaso Einstein lo dispuso perfectamente para que no hubiera ninguna?
Einstein no lo "preparó" (lo que implicaría que lo inventó ), él derivado la ecuación. Efectivamente hay una constante de proporcionalidad, es 1.
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Primero una nota para no olvidar que $E=m\,c^2$ es sólo un caso especial de la fórmula más general $\frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2$ para la "longitud" cuadrada invariante de Lorentz del cuatrivector momento en términos de la descanso masa $m$ .
Una vez aclarado este asunto, se me ocurren dos métodos:
Método 1: Una forma de hacerlo es imaginar la luz en una caja sin masa con espejos perfectamente reflectantes y analizar lo que ocurre cuando se empuja la caja.
Supongamos que esta caja está al principio en reposo con respecto a su marco de inercia. En equilibrio, la luz que rebota ejerce igual presión sobre todos los espejos.
Sin embargo, ahora queremos que la caja se mueva a una velocidad pequeña y constante $v\ll c$ en relación con nuestro marco. Cuando la caja comienza a moverse, la luz que se refleja en el extremo posterior de la caja (en el sentido definido por el movimiento) se desplaza hacia el azul al encontrarse con el espejo del extremo de la caja y la que se refleja en el extremo anterior de la caja se desplaza hacia el rojo. Por tanto, las presiones difieren ahora, con el resultado de que necesidad de suministrar impulso en la dirección del movimiento para permitir que la luz alcance un estado estacionario moviéndose a velocidad constante con respecto a su marco. Cuando se hace el cálculo, se encuentra que este impulso es igual a $E\,v/c^2$ . Así que usted atribuye una "resistencia" al empuje medida por una "inercia" $E/c^2$ . Muestro cómo hacer este cálculo con fotones (fácil) aquí . También se puede hacer un análisis clásico completo utilizando la transformación de Lorentz (mucho más difícil y complicado) y los resultados son los mismos. Algún día debo trabajar este análisis completo en una respuesta de Física SE, pero todavía no he encontrado la ocasión de hacerlo: la técnica es muy parecida a la de mi respuesta aquí que describe el "aplastamiento de la luz" en una cavidad con espejos móviles.
Obsérvese que, aunque estamos calculando, mediante mecánica clásica no relativista, la fuerza necesaria sobre la caja, en realidad estamos elaborando el comportamiento límite como $v\to0$ : estamos considerando un sistema que se mueve a velocidades tan pequeñas como queramos. Así que este método muestra que debemos atribuir una "masa" $E/c^2$ a una cantidad de energía si la relatividad especial y la mecánica clásica deben ser mutuamente consistentes , es decir igual en el límite como $v\to0$ . Así evitamos los problemas asociados a la discusión de la llamada masa "relativista", que puede dar resultados engañosos, aunque dé por casualidad la respuesta correcta en La respuesta de Jimmy 360 .
Método 2 : Este es el método utilizado inicialmente por Einstein en su primer trabajo después de su gran artículo sobre la relatividad especial de 1905:
A. Einstein, " ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético? ", Ann. der Phys. 18 :639,1905 Traducción al inglés "¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?"
Esto es muy parecido al método de Respuesta del Conde Iblis
Gurch
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29
Esto no es una derivación, pero podría interesarle el hecho de que hay pruebas experimentales de la relación $E=mc^2$ Y es muy sencillo. Esto se debe a lo que se conoce, en física nuclear, como el "defecto de masa" (cfr. [1]).
Utilizando métodos para determinar las masas de los núcleos (la llamada "espectroscopia de masas") se descubre que la suma de las masas de los constituyentes de un núcleo (neutrones y protones) es siempre mayor que la masa del propio núcleo. Es decir: $$\Delta(Z,A):=ZM_H + (A-Z)M_n - M(A,Z)>0,$$ donde $M_H,\, M_n,\, M(A,Z)$ son las masas del átomo de hidrógeno, del neutrón y del átomo con $A$ nucleones y $Z$ electrones (las masas de los $Z$ electrones se suman y se restan en la fórmula, ya que las cantidades accesibles son las masas de los átomos ).
Por otro lado, es posible determinar independientemente las energías de reposo $E(A,Z)$ de los núcleos. Por ejemplo, supongamos que un núcleo $A,Z$ decae en reposo en dos núcleos más ligeros $A',Z'$ y $A'',Z''$ con $Z'+Z''=Z$ y $A'+A''=A$ . Se pueden medir las energías cinéticas de los núcleos hijos, y la energía cinética total es, por conservación de la energía, la diferencia entre las energías de enlace. La fórmula del defecto de masa nos permite predecir la energía liberada en el proceso, ya que: $$E(A,Z)-E(A',Z')-E(A'',Z'')=^!\\ [M(A,Z)-M(A',Z')-M(A'',Z'')] c^2\\=[\Delta(A',Z')+\Delta(A'',Z'')-\Delta(A,Z)]c^2.$$ El signo de exclamación es para enfatizar que la primera igualdad es una adivinar para las energías de enlace, bajo el supuesto de que $E=mc^2$ . El hecho de que esta conjetura sea consistente con las energías determinadas experimentalmente, es una evidencia de la equivalencia masa-energía.
1] "Partículas y núcleos: Una introducción a los conceptos físicos", B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche - et. al -. http://www.amazon.it/Particles-Nuclei-Introduction-Physical-Concepts/dp/3540793674
Andrea Raimondi
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339
El vector 4 de energía-momento es simplemente la masa por el vector 4 de velocidad. Esto da el momento correcto en el límite no relativista. En el marco de reposo da correctamente el (tres)-momento como cero. Y da $E = mc^2$ para el componente temporal del vector.
Está claro que esto no va a tener mucho sentido si no se conoce la relatividad, pero esa es una historia larga pero bastante interesante en sí misma.
